Question

10．某國際研究小組觀測到了一組雙星系統(tǒng)，它們繞二者連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量，距離和周期均可能發(fā)生變化，根據(jù)大爆炸宇宙學(xué)科可知，雙星間的距離在緩慢增大，假設(shè)星體的軌道仍近似為圓，若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?.2倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼?.8倍，求此時做圓周運(yùn)動的周期．（$\sqrt{4.86}$=2.2）

Answer 1

分析 抓住雙星模型轉(zhuǎn)動的周期相等，根據(jù)萬有引力提供向心力求出周期與總質(zhì)量和兩星之間距離的關(guān)系，從而得出周期的變化．

解答 解：對恒星m₁：$G\frac{{{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{r_1}$
對恒星m₂：$G\frac{{{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_2}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{r_2}$
距離關(guān)系有：L=r₁+r₂，
由以上三式得：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{L^3}}}{{G{M_總}}}}$
設(shè)經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運(yùn)動的周期為：
T′=2π$\sqrt{\frac{（nL）^{3}}{G（kM）}}$=$\sqrt{\frac{n^3}{k}}$T．
將k=1.2，n=1.8代入上式得：T′=$\sqrt{\frac{1．{8}^{3}}{1.2}}T$=$\sqrt{4.86}T$≈2.2T
答：此時圓周運(yùn)動的周期為2.2T．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道雙星模型靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度相等，周期相等，結(jié)合萬有引力提供向心力進(jìn)行求解．