Question

8．長為L不可伸長的輕繩，一端固定于O點(diǎn)，另一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，最初小球位于A點(diǎn)，細(xì)繩伸直并且水平，如圖所示，然后將小球由靜止釋放，它將在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)．若預(yù)先在該平面內(nèi)Oˊ點(diǎn)處釘一只小釘，OOˊ與豎直方向的夾角為θ，細(xì)繩被小釘擋住后，小球?qū)⒏淖冞\(yùn)動(dòng)方向．為了使小球能繞Oˊ點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，OOˊ的距離d應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 抓住小球做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)有最小速度，由重力等于向心力求得最小速度，結(jié)合動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律求出OO′的長度d所允許的范圍．

解答 解：設(shè)小球由A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)的速度為v₁，在以為圓心的圓軌道最低點(diǎn)C、最高點(diǎn)D的速度分別為v₂和v₃，圓軌道的半徑為R．
由機(jī)械能守衡定律得：
從A到B的過程有：$mgLcosθ=\frac{1}{2}mv_1^2$
從B到C的過程有：$\frac{1}{2}mv_1^2+mgR（1-cos?）=\frac{1}{2}mv_2^2$
從C到D的過程有：$\frac{1}{2}mv_3^2+2mgR=\frac{1}{2}mv_2^2$
若小球恰能通過最高點(diǎn)D，則有：$mg=m\frac{v_3^2}{R}$
以上各式聯(lián)立求解得  $R=\frac{2Lcosθ}{2cosθ+3}$
要使小球能繞O'點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，OO'的距離應(yīng)滿足的條件是 d≥L-R=$\frac{3L}{2cosθ+3}$
即$d≥\frac{3L}{2cosθ+3}$
答：為了使小球能繞Oˊ點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，OOˊ的距離d應(yīng)滿足的條件是$d≥\frac{3L}{2cosθ+3}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了機(jī)械能守恒和牛頓第二定律，關(guān)鍵抓住小球在最高點(diǎn)臨界條件：重力等于向心力，求得最小速度．