Question

如圖所示，光滑的平行金屬導軌CD與EF間距為L=l m，與水平夾角為θ=30°，導軌上端用導線CE連接（導軌和連接線電阻不計），導軌處在磁感應強度為B=0.1T、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場中．一根電阻為R=1Ω的金屬棒MN兩端有導電小輪擱在兩導軌上，棒上有吸水裝置P．取沿導軌向下為x軸正方向，坐標原點在CE中點，開始時棒處在x=0位置（即與CE重合），棒的起始質量不計．當棒自靜止起下滑時，便開始吸水，質量逐漸增大，設棒質量的增大與位移x的平方根成正比，即m=k

x

，k為一常數(shù)，k=0.1kg/m．求：
（1）金屬棒下滑2m位移過程中，流過棒的電荷量是多少？
（2）猜測金屬棒下滑過程中做的是什么性質的運動，并加以證明．
（3）金屬棒下滑2m位移時速度為多大？

Answer 1

（1）金屬棒下滑1m過程中，流過棒的電量為 


   q=

△Φ

R

=

BLx

R

=

0.1×1×2

1

C=0.2C
（2）由于棒從靜止開始運動，因此首先可以確定棒開始階段做加速運動，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化．
如圖所示，棒在下滑過程中沿導軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個變力；而安培力與速度有關，也隨位移增大而增大，如果兩個力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運動． 假設棒做的是勻加速運動，且設下滑位移x時的加速度為a_x，根據(jù)牛頓第二定律，有
   mgsinθ-F=ma_x，
 而安培力F=BIL=B

BLv

R

L=

B2L2v

R

所以mgsinθ-

B2L2v

R

=ma_x，
假設棒做勻加速直線運動，則瞬時速度v=

2axx

，由于m=k

x

，代入后得：k

x

gsinθ-

B2L2 2axx

R

=k

x

a_x，
則得kgsinθ-

B2L2 2ax

R

=ka_x，①
從上述方程可以看出的解a_x是一個定值，與位移x無關，這表明前面的假設成立，棒的運動確實是勻加速直線運動．若a_x與位移x有關，則說明a_x是一個變量，即前面的假設不成立．
（3）為了求棒下滑2m時的速度，應先求出棒的加速度．將題目給出的數(shù)據(jù)代①式得到
   0.1×10×

1

2

-

2 ×0.01×1

1

a

=0.1a
化簡得 10a+

2

?

a

-50=0
令y=

a

，則得 y²+

2

y-50=0
解得，a=4.69m/s²
根據(jù)勻變速運動規(guī)律，v=

2axx

=

2×4.69×2

=4.33m/s
答：（1）金屬棒下滑2m位移過程中，流過棒的電荷量是0.2C．
（2）猜測金屬棒下滑過程中做的是做勻加速運動，證明如上．
（3）金屬棒下滑2m位移時速度為4.33m/s．