Question

9．在圖示區(qū)域中，x軸上方有一勻強(qiáng)磁場，磁感腦強(qiáng)度的方向垂直紙面向里，大小為B，今有一質(zhì)子以速度，v₀由y軸上的a點(diǎn)沿軸正方向射入磁場，質(zhì)子在磁場中運(yùn)動一段時(shí)間后從C點(diǎn)進(jìn)入x軸下方的勻強(qiáng)電場區(qū)域中，在C點(diǎn)速度方向與x軸正方向夾角為45°，該勻強(qiáng)電場的強(qiáng)度大小為E，方向與丁軸夾角為45°且斜向左上方，已知質(zhì)子的質(zhì)量為m，電量為q，不計(jì)質(zhì)子的重力（磁場區(qū)域和電場區(qū)域足夠大），求：
（1）質(zhì)子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越X軸的運(yùn)動時(shí)間．
（2）質(zhì)子第四次穿越x軸時(shí)的速度大小及速度方向與電場E方向的夾角（角度用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子受到的電場力與電場線在同一條直線上，在電場中做直線運(yùn)動，在磁場中做圓周運(yùn)動，根據(jù)粒子的運(yùn)動情況可以畫出粒子的運(yùn)動的軌跡，粒子在電場中做直線運(yùn)動，在磁場中做圓周運(yùn)動，根據(jù)粒子的運(yùn)動的軌跡逐個(gè)分析可以求得粒子每次運(yùn)動的時(shí)間的大小．
（2）質(zhì)子第三次穿越χ軸后，在電場中作類平拋運(yùn)動，由于V₀與χ負(fù)方向成45．角，第四次穿越x軸時(shí)運(yùn)用運(yùn)動的合成法求解速度的大小及速度方向．

解答 解：質(zhì)子的運(yùn)動軌跡如圖所示：

（1）粒子從A到C的運(yùn)動時(shí)間為t₁=$\frac{π+\frac{π}{4}}{2π}$$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{4qB}$，
質(zhì)子在電場中先作減速運(yùn)動并使速度減為零，
然后反向運(yùn)動，在電場中運(yùn)動的時(shí)間：t₂=2$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$，
質(zhì)子從C運(yùn)動到D的時(shí)間為：t₃=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$，
所以，質(zhì)子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越χ軸所需時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{7πm}{qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（2）質(zhì)子第三次穿越χ軸后，在電場中作類平拋運(yùn)動，由于V₀與χ負(fù)方向成45．角，
以第四次穿越x軸時(shí)：v₀t₄=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₄²，解得：t₄=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$，
則沿電場方向速度的分量為：v_E=$\frac{qE}{m}$t₄=2v₀．   
所以，速度的大小為：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$v₀，
速度方向與電場E的夾角設(shè)為θ，如圖所示：

則 tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{E}}$=$\frac{1}{2}$，則：θ=arctan$\frac{1}{2}$；
答：（1）質(zhì)子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越X軸的運(yùn)動時(shí)間為$\frac{7πm}{qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$．
（2）質(zhì)子第四次穿越x軸時(shí)的速度大小為$\sqrt{5}$v₀，速度方向與電場E方向的夾角為arctan$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．