Question

如圖所示，固定的凹槽水平表面光滑，其內(nèi)放置U形滑板N，滑板兩端為半徑R=0.45 m的1/4圓弧面，A和D.分別是圓弧的端點(diǎn)，BC段表面粗糙，其余段表面光滑，小滑塊P₁和P₂的質(zhì)量均為m,滑板的質(zhì)量M=4m.P₁和P₂與BC面的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.10和μ₂=0.40,最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力，開(kāi)始時(shí)滑板緊靠槽的左端，P₂靜止在粗糙面的B點(diǎn)，P₁以v₀=4.0 m/s的初速度從A點(diǎn)沿弧面自由滑下，與P₂發(fā)生彈性碰撞后，P₁處在粗糙面B點(diǎn)上.當(dāng)P₂滑到C點(diǎn)時(shí)，滑板恰好與槽的右端碰撞并與槽牢固粘連，P₂繼續(xù)滑動(dòng)，到達(dá)D.點(diǎn)時(shí)速度為零，P₁與P₂視為質(zhì)點(diǎn).取g=10 m/s².問(wèn)：

（1）P₂在BC段向右滑動(dòng)時(shí)，滑板的加速度為多大？

（2）BC長(zhǎng)度為多少？N、P₁和P₂最終靜止后，P₁與P₂間的距離為多少?

Answer 1

（1）0.8 m/s²  (2)1.9 m    0.695 m

解析：(1)P₁滑到最低點(diǎn)速度為v₁,由機(jī)械能守恒定律有

mv₀²+mgR=mv₁²

解得v₁=5 m/s

P₁、P₂碰撞滿(mǎn)足動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒定律，設(shè)碰后速度分別為v₁′、v₂，則

mv₁=mv₁′+mv₂′

mv₁²=mv₁′²+mv₂²

又由v₁′=0

解得v₂=5 m/s

P₂向右滑動(dòng)時(shí)，P₂對(duì)滑板摩擦力為

f=μ₂mg=4m(向右)

對(duì)P₁、M有f=(m+M)a₂

則a₂===0.8 m/s²

此時(shí)對(duì)P₁有f₁=ma₂=0.80m＜f_m=1.0m,即此時(shí)P₁與滑板具有共同的加速度0.8 m/s²，方向向右.

(2)

P₂滑到C點(diǎn)速度為v₂′，由mgR=mv₂′²

解得v₂′=3 m/s

P₁、P₂碰撞到P₂滑至C點(diǎn)時(shí)，設(shè)P₁、M速度為v,由動(dòng)量守恒定律得

mv₂=(m+M)v+mv₂′

解得v=0.40 m/s

以P₁、P₂、M為系統(tǒng)

fL=mv₂²-mv₂′²-(m+M)v²

代入數(shù)值得BC長(zhǎng)度L=1.9 m

滑板碰后，P₁向右滑行，加速度為a₁=μ₁g=1 m/s²

滑行距離S₁==0.08 m

P₂向左滑行，加速度為a₂′=μ₂g=4 m/s²

滑行距離S₂==1.125 m

所以P₁、P₂靜止后距離ΔS=L-S₁-S₂=0.695 m.