Question

15．如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道．AB軌道和CDO軌道通過極短的水平軌道（長度忽略不計）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．一個小球P從A點的正上方高H處自由落下，從A點進入豎直平面內的軌道運動（小球經過A點時無機械能損失）．當小球通過CDO軌道最低點C時的速度大小為10$\sqrt{5}$m/s，取g為10m/s²．
（1）試求高度H的大�。�
（2）試求小球通過CDO軌道最低點C時對軌道的壓力等于其重力的多少倍；
（3）試討論此球能否到達CDO軌道的最高點O，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律求出高度H的大�。�
（2）根據牛頓第二定律求出最低點C小球所受的支持力大小，從而通過牛頓第三定律求出壓力的大�。�
（3）根據機械能守恒定律求出O點的速度，結合O點的臨界速度大小判斷能否到達最高點O．

解答 解：（1）P到C過程，由機械能守恒：$mg（H+\frac{R}{2}）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
代入數據，解得：H=10m．
（2）根據牛頓第二定律得，N-mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{\frac{R}{2}}$，解得N=$\frac{23}{3}mg$，
在C點對軌道的壓力等于重力的$\frac{23}{3}$倍，由牛頓第三定律得，在C點軌道
對小球的支持力大小為$\frac{23}{3}$mg．

（3）設小球能到達O點，由P到O，機械能守恒，到O點的速度v₂：
$mgH=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得     ${v}_{2}=\sqrt{2gH}=\sqrt{20g}$．
設小球能到達軌道的O點時的速度大小為v₀，則
mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{\frac{R}{2}}$，解得  v₀=$\sqrt{\frac{gR}{2}}=\sqrt{\frac{15g}{2}}$，
v₂＞v₀   所以小球能夠到達O點．
答：（1）高度H的大小為10m．
（2）小球通過CDO軌道最低點C時對軌道的壓力等于其重力的$\frac{23}{3}$倍．
（3）小球能夠到達O點．

點評 本題考查了機械能守恒定律、牛頓第二定律的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源，以及最高點的臨界情況，難度中等．