Question

13．現(xiàn)有一根長(zhǎng)L=1m的不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩，其一端固定于O點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），將小球提至O點(diǎn)正上方的A點(diǎn)處，此時(shí)繩剛好伸直且無(wú)張力，如圖所示．不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²，求：
（1）為保證小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)至少應(yīng)施加給小球多大的水平速度v₀？
（2）若在A點(diǎn)給小球的水平速度v₁=4m/s，則在A點(diǎn)瞬間，繩中的拉力為多大？
（3）若在A點(diǎn)給小球的水平速度v₂=1m/s，小球?qū)⒉谎貓A弧運(yùn)動(dòng)，求輕繩恰好再次伸直時(shí)，小球所在的位置到直線AO（或其延長(zhǎng)線）的最短距離．

Answer 1

分析 （1）小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，由重力作為向心力可以求得最小的速度v₀；
（2）根據(jù)第一問(wèn)的判斷可以知道v₁＞V₀，故繩中有張力，由向心力的公式可以求得繩的拉力的大��；
（3）由于v₂＜v₀，故繩中沒(méi)有張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得小球所在的位置到直線AO（或其延長(zhǎng)線）的最短距離．

解答 解：（1）要使小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，
所以 由 mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$得：v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{10}$m/s
（2）因?yàn)関₁＞v₀，故繩中有張力，由牛頓第二定律得：
T+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$
代入數(shù)據(jù)解得繩中的拉力為：T=6N
（3）因?yàn)関₂＜v₀，故繩中沒(méi)有張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)，如圖所示
水平方向：x=v₂t
豎直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²
由幾何關(guān)系有：L²=（y-L）²+x²
解得：x=0.6m
答：（1）為保證小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)至少應(yīng)施加給小球$\sqrt{10}$m/s的水平速度v₀．
（2）若在A點(diǎn)給小球的水平速度v₁=4m/s，則在A點(diǎn)瞬間，繩中的拉力為6N．
（3）若在A點(diǎn)給小球的水平速度v₂=1m/s，輕繩恰好再次伸直時(shí)，小球所在的位置到直線AO（或其延長(zhǎng)線）的最短距離是0.6m．

點(diǎn)評(píng) 要使小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)至少應(yīng)該是重力作為所需要的向心力，這是本題中的一個(gè)臨界條件，與此時(shí)的物體的速度相對(duì)比，可以判斷物體能否做圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而再根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律來(lái)分析解決問(wèn)題．