Question

如圖所示，在投球游戲中，小明坐在可沿豎直方向升降的椅子上，停在不同高度處將小球水平拋出落入固定的球框中．已知球框距地面的高度為h₀，小球的質(zhì)量為m，拋出點(diǎn)與球框的水平距離始終為L(zhǎng)，忽略空氣阻力．
（1）小球距地面高為H₀處水平拋出落入球框，求此過(guò)程中小球重力勢(shì)能的減少量；
（2）若小球從不同高度處水平拋出后都落入了球框中，試推導(dǎo)小球水平拋出的速度v與拋出點(diǎn)高度H之間滿足的函數(shù)關(guān)系；
（3）為防止球入框時(shí)彈出，小明認(rèn)為球落入球框時(shí)的動(dòng)能越小越好．那么，它應(yīng)該從多高處將球水平拋出，可以使小球入框時(shí)的動(dòng)能最��？并求該動(dòng)能的最小值．

Answer 1

分析：（1）小球重力勢(shì)能的減少量等于等于重力做功mg（H₀-h₀）．
（2）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．
（3）小球平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得到小球入框時(shí)的動(dòng)能與高度的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答：解：（1）小球重力勢(shì)能的減少量為：△E_p=mg（H₀-h₀）．
（2）設(shè)小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則
水平方向有：L=vt
豎直方向有：H-h0=

1

2

gt2
解得：v=

g 2(H- h   0 )

L（H＞h₀）或：H=h0+

gL2

2v2

．
（3）小球平拋過(guò)程，只受重力，機(jī)械能守恒，則得：
  mg(H-h0)=Ek-Ek0
結(jié)合上題結(jié)論有：mg(H-h0)=Ek-

mgL2

4(H-h0)

得：E_K=

mgL2

4(H-h0)

+mg（H-h₀）
當(dāng)H=h₀+

1

2

L時(shí)，E_K有極小值，得：E_Kmin=mgL
答：（1）此過(guò)程中小球重力勢(shì)能的減少量為mg（H₀-h₀）．
（2）球水平拋出的速度v與拋出點(diǎn)高度H之間滿足的函數(shù)關(guān)系是：v=

g 2(H- h   0 )

L（H＞h₀）．
（3）球應(yīng)該從h₀+

1

2

L高處將球水平拋出，可以使小球入框時(shí)的動(dòng)能最小，該動(dòng)能的最小值是mgL．

點(diǎn)評(píng)：本題是平拋運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能守恒定律的綜合，關(guān)鍵運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，求解動(dòng)能的最小值．