Question

4．如圖所示，XOY平面內(nèi)存在以坐標(biāo)（0，r）為圓心，半徑為r的圓形有界磁場，磁場方向垂直紙面向里，一束電量均為q（q＞0），質(zhì)量均為m的粒子均從原點O以相同的速率v射入磁場，入射方向在XOY平面內(nèi)分布在Y軸左右兩側(cè)各30°范圍內(nèi)，所有粒子從磁場離開時速度方向均平行于X軸，在X=2r處有一平行于Y軸的足夠長的熒光屏，不計帶電粒子的重力，不考慮粒子間的相互作用，求：
（1）磁感應(yīng)強度B的大��；
（2）從O點到擊中光屏所用時間最長和最短的粒子運動時間之差；
（3）熒光屏上有粒子擊中的區(qū)域在Y軸方向上的寬度．

Answer 1

分析 （1）選擇沿Y軸發(fā)射的粒子作為研究對象，利用洛倫茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解磁感應(yīng)強度B的大小；
（2）找到從O點到擊中光屏所用時間最長和最短的粒子，即轉(zhuǎn)過的圓心角最大和最小的粒子，畫出粒子軌跡過程圖，利用周期公式T=$\frac{2πr}{v}$結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過的圓心角，求出粒子在磁場中運動的最短和最長時間，再將兩個時間做差即可；
（3）找到粒子打中熒光屏最上面和最下面的兩個臨界情況，利用幾何關(guān)系分別求出兩個臨界點的Y坐標(biāo)，做差即可求出熒光屏上有粒子擊中的區(qū)域在Y軸方向上的寬度．

解答 解：（1）如圖一所示，以沿Y軸正方向入射的粒子為研究對象，出設(shè)速度平行于X軸，

根據(jù)幾何關(guān)系可知軌跡圓半徑：R=r
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立可得：B=$\frac{mv}{qr}$
（2）如圖二所示，入射方向分別與X軸正負(fù)方向夾角為60°的兩個粒子軌跡圓心角分別為α、β，出射點到熒光屏的距離分別為d₁，d₂，

由幾何關(guān)系可知：α=60°，β=120°，d₁=d₂，
設(shè)d₁=d₂=d
t₁=$\frac{1}{6}T+\fracyzcfip0{v}$
t₂=$\frac{1}{3}T+\fracsvaqvcm{v}$
T=$\frac{2πr}{v}$
△t=t₂-t₁=$\frac{1}{6}•\frac{2πr}{v}$=$\frac{πr}{3v}$
（3）由于粒子離開磁場后做勻速直線運動，所以粒子打在熒光屏上的長度即為從磁場中離開時的距離
從第一象限入射磁場與Y軸夾角為30°的粒子：y₁=r+rsin30°
從第二象限入射磁場與Y軸夾角為30°的粒子：y₂=rsin30°
熒光屏上有粒子擊中的區(qū)域在Y軸方向上的寬度：△y=y₁-y₂=r
答：（1）磁感應(yīng)強度B的大小為$\frac{mv}{qr}$；
（2）從O點到擊中光屏所用時間最長和最短的粒子運動時間之差為$\frac{πr}{3v}$；
（3）熒光屏上有粒子擊中的區(qū)域在Y軸方向上的寬度為r．

點評 本題考查帶電粒子在有界磁場中的運動，解題關(guān)鍵是要畫出粒子軌跡過程圖，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合臨界幾何關(guān)系即可求解，對數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．