Question

如圖（甲）所示，一豎直放置的邊長為L的正方形導線框，其內有垂直框面向外的均勻變化的磁場，磁場變化如圖（乙）所示．導線框兩端分別連平行板電容器的兩極板M、N，M、N的長度和它們之間的距離都是d，兩平行板所在平面與紙面垂直．
（1）一質子沿M、N兩板正中央水平射入，恰好打在N板的中點處．已知質子的質量和電量分別為m、e，求M、N兩板間的電壓U_MN和質子入射的初速度v₀．
（2）若在M、N間加一垂直紙面的勻強磁場B，質子以初速度v沿兩極板的正中央入射時，恰好沿直線通過兩板，求M、N間所加磁場B的大小和方向．
（3）若在M、N的右側有一垂直M、N板的長接收板P，且在接收板與M、N間也存在（2）中所加的同樣大小與方向的磁場B，則質子以直線通過M、N板之后恰好沒有碰到P板．求M板右端到P板的距離．

Answer 1

分析：（1）由法拉第電磁感應定律可以求出MN間的電壓；質子在MN間做類平拋運動，由類平拋運動的知識可以求出質子的初速度．
（2）質子沿直線通過MN板，則質子在板間所受電場力與洛倫茲力是一對平衡力，由電場力公式與洛倫茲力公式可以求出磁感應強度．
（3）質子恰好沒有碰到P板，則質子做圓周運動離開MN兩板時速度方向過板的端點，質子在MN間做圓周運動洛倫茲力提供向心力，結合數學知識即可解題．

解答：解：（1）設平行板電容器兩端的電壓是U，
則由法拉第電磁感應定律可得：U=

△Φ

△t

  ①，
由（乙）圖可知：

△Φ

△t

=

B0S

t0

  ②，而S=L²  ③，
由①②③式解得：U=

B0L2

t0

 ④，
質子在M、N間做類平拋運動，由平拋運動規(guī)律可得：
在水平方向：

1

2

d=v₀t    ⑤，
在豎直方向：

1

2

d=

1

2

at2  ⑥，
由牛頓第二定律和電場力公式可得：e

U

d

=ma ⑦，
由以上式子解得：v₀=

L

2

eB0 mt0

  ⑧；
（2）質子在M、N板間做勻速直線運動，
它受到電場力和洛侖茲力這一對平衡力作用．
由平衡條件得：evB=e

U

d

  ⑨，
由⑨式解得：B=

B0L2

dvt0

，B的方向垂直紙面向里；
（3）質子恰好沒有碰到P板，
質子在磁場中做圓周運動的軌跡與P板相切，
由右圖可知：evB=m

v2

R

，
由幾何知識知M板右端到P板的距離：S=R，
由以上兩式解得S=

mdt0v2

eB0L2

；
答：（1）電壓為

B0L2

t0

，初速度為

L

2

eB0 mt0

；
（2）磁感應強度B=

B0L2

dvt0

，方向：垂直紙面向里；
（3）M板右端到P板的距離得S=

mdt0v2

eB0L2

．

點評：本題是帶電粒子在復合場中運動的一道綜合題，解題時要注意不考慮質子所受重力；應用類平拋運動與圓周運動的知識、平衡條件，可以分析答題．