Question

質(zhì)量為M的圓環(huán)用細(xì)線（質(zhì)量不計(jì)）懸掛著，將兩個質(zhì)量均為m的有孔小珠套在此環(huán)上且可以在環(huán)上做無摩擦的滑動，如圖所示，今同時將兩個小珠從環(huán)的頂部釋放，并沿相反方向自由滑下，試求：
（1）在圓環(huán)不動的條件下，懸線中的張力T隨cosθ（θ為小珠和大環(huán)圓心連線與豎直方向的夾角）變化的函數(shù)關(guān)系，并求出張力T的極小值及相應(yīng)的cosθ值；
（2）小珠與圓環(huán)的質(zhì)量比

m

M

至少為多大時圓環(huán)才有可能上升？

Answer 1

分析：（1）對其中任一小珠研究，根據(jù)機(jī)械能守恒求得速度與θ的關(guān)系式，小珠做圓周運(yùn)動，指向圓心的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小珠所受的圓環(huán)的彈力，再根據(jù)牛頓第三定律得到小珠對圓環(huán)的彈力，圓環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)，由平衡條件求出T與θ的關(guān)系式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識分析極小值及相應(yīng)的cosθ值；
（2）當(dāng)圓環(huán)所受的合力向上時，有可能上升，根據(jù)上問的結(jié)果進(jìn)行討論．

解答：解：（1）設(shè)小珠和大環(huán)圓心連線與豎直方向的夾角為θ時小珠的速度大小為v．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  

1

2

mv2=mgR（1-cosθ）
設(shè)圓環(huán)對小珠的彈力大小為N，由牛頓第二定律得
  mgcosθ-N=m

v2

R

對于圓環(huán)，合力為零，則有
  T=Mg+2Ncosθ
聯(lián)立以上三式得：Ncosθ=6mgcos²θ-4mgcosθ，T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ 
根據(jù)拋物線方程知，當(dāng)cosθ=-

b

2a

=-

-4mg

12mg

=

1

3

時，T有極小值，極小值為T_min=Mg-

2

3

mg
（2）由上知，T_min=Mg-

2

3

mg，說明此時小珠對圓環(huán)的作用力的合力方向向上，大小為N′=

2

3

mg
當(dāng)N′＞Mg時，圓環(huán)將會上升，則有T_min=Mg-

2

3

mg＜0
解得，

m

M

＞

3

2

答：（1）在圓環(huán)不動的條件下，懸線中的張力T隨cosθ變化的函數(shù)關(guān)系是T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ，張力T的極小值是Mg-

2

3

mg，相應(yīng)的cosθ值是

1

3

；
（2）小珠與圓環(huán)的質(zhì)量比

m

M

至少為

2

3

時圓環(huán)才有可能上升．

點(diǎn)評：本題運(yùn)用機(jī)械能守恒、圓周運(yùn)動、力平衡條件結(jié)合推導(dǎo)出T的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識求解T的極小值．