Question

在豎直平面內(nèi)，一根光滑金屬桿彎成如圖所示形狀，相應(yīng)的曲線方程為y=2.5cos（kx+2π/3）m，式中k=1m^-1．將一光滑小環(huán)套在該金屬桿上，并從x=0處以v₀=5m/s的初速度沿桿向下運(yùn)動(dòng)，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到x=π/3m時(shí)的速度多大？
（2）該小環(huán)在x軸方向最遠(yuǎn)能運(yùn)動(dòng)到多遠(yuǎn)處．

Answer 1

分析：本題（1）的關(guān)鍵是根據(jù)曲線方程求出小環(huán)在x=0和x=

π

3

時(shí)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值，然后根據(jù)動(dòng)能定理即可求解；題（2）的關(guān)鍵是明確小環(huán)運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)的含義是末速度等于0時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理可求出此過程發(fā)生的位移h，然后根據(jù)h=

y

1

-y

2

求出

y

，代入曲線方程即可求出x．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，

y

1

=2.5cos

2

3

π=-1.25m，當(dāng)x=

π

3

時(shí)，

y

2

=2.5cosπ=-2.5m，由此可知，小環(huán)下落的高度為△y=

y

1

-y

2

=-1.25m-2.5m=1.25m，由動(dòng)能定理得：
mg△y=

1

2

m

v

2

-

1

2

mv

2 0

，代入數(shù)值得：v=5

2

m/s．
（2）當(dāng)小環(huán)速度為零時(shí)，設(shè)上升的高度為h，由動(dòng)能定理得：-mgh=0-

1

2

m

v

2 0

，解得h=

v 2 0

2g

=1.25m，即

y

1

-y

2

=h=1.25，解得

y

2

=0，即當(dāng)y=0時(shí)小環(huán)速度為零，所以有2.5cos（kx+

2

3

π）=0，解得x=

5π

6

m．
答：（1）當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到x=

π

3

m時(shí)的速度為5

2

m/s．
    （2）該小環(huán)在x軸方向最遠(yuǎn)能運(yùn)動(dòng)到

5π

6

m遠(yuǎn)處．

點(diǎn)評(píng)：明確曲線方程與位移方程的區(qū)別，對(duì)做曲線運(yùn)動(dòng)的物體應(yīng)用動(dòng)能定理求解速度的大�。�