Question

10．為了研究過(guò)山車(chē)的原理，某研究小組設(shè)計(jì)了圖示連續(xù)軌道．該軌道由豎直面內(nèi)光滑弧形軌道、半徑為R的豎直光滑圓軌道及粗糙水平軌道組成，距圓軌道最低點(diǎn)5R處有一豎直擋板．現(xiàn)將一可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為m的滑塊從弧形軌道上高為h處由靜止釋放，滑塊與擋板碰撞后以原速率反彈．已知滑塊與右側(cè)水平軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度為g．
（1）如果h=3R，求滑塊第一次到達(dá)豎直圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小．
（2）研究小組希望滑塊釋放后能順利通過(guò)豎直圓軌道又不會(huì)返回到左側(cè)的弧形軌道，而且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滑塊始終不脫離軌道，求滑塊的釋放高度h應(yīng)該滿足的條件和從滿足條件的最高點(diǎn)釋放后滑塊停止時(shí)距軌道最低點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求出滑塊第一次到達(dá)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出軌道對(duì)滑塊的彈力，從而得出滑塊對(duì)軌道的壓力．
（2）通過(guò)最高點(diǎn)的臨界情況，結(jié)合機(jī)械能守恒求出最小高度h，滑塊與擋板碰撞后不再返回圓軌道左側(cè)，且不脫軌，則滑塊從水平軌道向左進(jìn)入圓軌道后，在圓軌道內(nèi)上升的最高點(diǎn)不超過(guò)圓心所在的高度，結(jié)合動(dòng)能定理求出最大高度．
根據(jù)動(dòng)能定理求出滑塊停止時(shí)距軌道最低點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）滑塊滑到圓弧軌道最高點(diǎn)過(guò)程中：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+mg•2R$…①
滑塊過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，有：${F_N}+mg=m\frac{v^2}{R}$…②
解得：F_N=mg
由牛頓第三定律，滑塊對(duì)軌道的壓力大小為mg…③
（2）設(shè)滑塊第一次通過(guò)豎直圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，軌道的壓力為F_N，則：${F_N}+mg=m\frac{v^2}{R}$…④
能過(guò)最高點(diǎn)的條件：F_N≥0…⑤
從釋放到最高點(diǎn)過(guò)程中，有：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+mg•2R$…⑥．
解得：$h≥\frac{5}{2}R$…⑦
滑塊與擋板碰撞后不再返回圓軌道左側(cè)，且不脫軌，則滑塊從水平軌道向左進(jìn)入圓軌道后，在圓軌道內(nèi)上升的最高點(diǎn)不超過(guò)圓心所在的高度，即   h'≤R…⑧
從釋放到第一次向左運(yùn)動(dòng)進(jìn)入圓軌道并到達(dá)最高點(diǎn)的過(guò)程：mgh=mgh'+2μmg×5R…⑨
解得：h≤6R…⑩
所以，所求的釋放點(diǎn)高度滿足2.5R≤h≤6R
滑塊最終將停在粗糙的水平軌道上，從釋放到最終停止運(yùn)動(dòng)，滑塊在水平軌道所通過(guò)的總路程為x，則：
mgh=μmgx         
解得：x=12R            
所以，滑塊將停在圓軌道最低點(diǎn)右側(cè)距離：d=x-2×5R=2R     
答：（1）滑塊第一次到達(dá)豎直圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為mg；
（2）滑塊的釋放高度h應(yīng)該滿足的條件為2.5R≤h≤6R，從滿足條件的最高點(diǎn)釋放后滑塊停止時(shí)距軌道最低點(diǎn)的距離為2R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律、機(jī)械能守恒、動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵抓住臨界狀態(tài)：1、第一次能越過(guò)最高點(diǎn)，2、與擋板碰撞后不要越過(guò)四分之一圓周．