Question

．如圖所示，坐標(biāo)空間中有場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸為兩種場(chǎng)的分界線，圖中虛線為磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)位置（-l，0）處，以初速度v₀沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，且已知l=

mv02

qE

（粒子重力不計(jì)）．試求：
（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v的大小及v的方向與y軸的夾角θ；
（2）若要使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d的最小值是多少．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中受電場(chǎng)力作用產(chǎn)生加速度，根據(jù)題意知粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法處理類平拋問(wèn)題，得出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)臨界條件時(shí)的軌跡，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力和軌跡的幾何知識(shí)求解磁場(chǎng)寬度應(yīng)該滿足的條件．

解答：解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度是a，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得：
qE=ma   ①
設(shè)粒子出電場(chǎng)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v，此時(shí)在y軸方向的分速度為v_y，粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有：
v_y=at  ②
l=

mv02

qE

=v₀t  ③
v=

v02+vy2

④
由①②③④式解得：v=

2

v0⑤
sinθ=

v0

v

⑥
由⑤⑥式解得：sinθ=

2

2

⑦
由⑦式可得：θ=45°⑧
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，如答圖所示．
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力有：
qvB=m

v2

R

所以有粒子運(yùn)動(dòng)軌道半徑：R=

mv

qB

       ⑨
由答圖可知：若要使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿足：
d≤R（1+cosθ）      ⑩
由⑩解得：d_min=

(1+ 2 )mv0

qB

…（13）
答：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v的大小為

2

v0，v的方向與y軸的夾角θ=45°；
（2）若要使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d的最小值是

(1+ 2 )mv0

qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)和在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中掌握類平拋問(wèn)題的處理方法，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了