Question

如圖所示，BCPC′D是螺旋軌道，半徑為R的圓O與半徑為2R的BCD圓弧相切于最低點C，與水平面夾角都是37°的傾斜軌道AB、ED分別與BC、C′D圓弧相切于B、D點（C、C′均為豎直圓的最底點），將一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧的一端固定在AB軌道的有孔固定板上，平行于斜面的細(xì)線穿過有孔固定板和彈簧跨過定滑輪將小球和大球連接，小球與彈簧接觸但不相連，小球質(zhì)量為m，大球質(zhì)量為

6

5

m，ED軌道上固定一同樣輕質(zhì)彈簧，彈簧下端與D點距離為L₂，初始兩球靜止，小球與B點的距離是L₁，L₁＞L₂，現(xiàn)小球與細(xì)線突然斷開．一切摩擦不計，重力加速度為g．
（1）細(xì)線剛斷時，小球的加速度大��；
（2）小球恰好能完成豎直圓周運動這種情況下，小球過C點前后瞬間有壓力突變，求壓力改變量為多少？
（3）小球沖上左側(cè)軌道獲得與初始線斷相同的加速度時，小球的速度．

Answer 1

分析：（1）細(xì)線剛斷時，小球的加速度大小根據(jù)牛頓第二定律求解；
（2）小球在經(jīng)過C點時，在C點左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個圓周上過最低點，根據(jù)重力和軌道的支持力的合力提供向心力，列式得到壓力改變量與速度的關(guān)系式；小球恰好能完成豎直圓周運動時，在最高點由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求得最高點小球的速度．小球從最低點到最高點的過程中，機(jī)械能守恒，列出方程，聯(lián)立即可求解．
（3）當(dāng)小球能過頂，小球滑上左側(cè)斜面軌道，壓縮彈簧獲得與初始線斷時相同大小的加速度時，彈簧彈力為F_N=

6

5

mg-mgsin37°，彈簧壓縮量與右側(cè)初始彈簧壓縮量相同，則彈簧的彈性勢能相等，整個過程機(jī)械能守恒，列式即可求解小球的速度．

解答：解：（1）線未斷時，彈簧對小球m的彈力大小 F_N=

6

5

mg-mgsin37°
細(xì)線剛斷時，小球的加速度 a=

FN+mgsin37°

m

=

6 5 mg

m

=

6

5

g
（2）小球在經(jīng)過C點時，在C點左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個圓周上過最低點，
在右邊：軌道對小球的支持力 F_N1=F_n1+mg
得：F_N1=m

v2

R1

+mg
在左邊：軌道對小球的支持力 F_N2=F_n2+mg
得：F_N2=m

v2

R2

+mg
則小球?qū)�軌道的壓力之差為：△F=F₂-F₁=m

v2

R2

-m

v2

R1

又 R₁=2R，R₂=R，
解得：△F=

mv2

2R

又小球從C點到P點過程中，機(jī)械能守恒，則得：

1

2

mv2-2mgR=

1

2

m

v

2 0

在最高點P時，由重力提供向心力，則有：mg=m

v 2 0

R

聯(lián)立解得：△F=

5

2

mg
（3）當(dāng)小球能過頂，則小球滑上左側(cè)斜面軌道，壓縮彈簧獲得與初始線斷時相同大小的加速度時，彈簧彈力為F_N=

6

5

mg-mgsin37°=

3

5

mg
即彈簧壓縮量與右側(cè)初始彈簧壓縮量相同，均為x=

3mg

5k

，則彈簧的彈性勢能相等，整個過程機(jī)械能守恒：
  mgL₁sin37°-mg（L₂+

3mg

5k

）sin37°=

1

2

m

v

2 2

解得：v₂=

6 5 g(L1-L2- 3mg 5k )

答：（1）細(xì)線剛斷時，小球的加速度大小為

6

5

g；（2）壓力改變量為

5

2

mg．（3）小球沖上左側(cè)軌道獲得與初始線斷相同的加速度時，小球的速度為

6 5 g(L1-L2- 3mg 5k )

．

點評：本題是復(fù)雜的力學(xué)問題，對于圓周運動，分析向心力的來源是關(guān)鍵，對于小球運動過程之中，要抓住機(jī)械能守恒，要具有解決綜合問題的能力，需要加強這方面的練習(xí)．