Question

12．彈性擋板圍成邊長為i=100cm的正方形abcd，固定在光滑的水平面上，勻強(qiáng)磁場豎直向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=0.5T．如圖所示，一質(zhì)量m=2×10^-4kg，帶電量為q=4×10^-3C小球，從CD的中點(diǎn)小孔P處以某一大小為v的速度垂直于CD邊沿水平面射入磁場，設(shè)小球與框架相碰后不損失動(dòng)能．求：
（1）為使小球能從P點(diǎn)垂直于DC射出來，小球入射的速度的大小v是多少？
（1）為使小球在最短的時(shí)間內(nèi)從P點(diǎn)垂直于DC射出來，小球的入射速度v₁是多少？
（2）若小球以大小為v₂=1m/s的速度入射，則需經(jīng)過多少時(shí)間才能由P點(diǎn)出來？

Answer 1

分析 （1）分析清楚小球運(yùn)動(dòng)過程，求出小球的軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出小球粒子的速度．
（2）根據(jù)題意求出小球的軌道半徑，由牛頓第二定律求出粒子的速度．
（3）求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，然后求出小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

解答 解：（1）小球在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為使小球能從P點(diǎn)垂直于DC射出來，
小球應(yīng)在PC間經(jīng)過n個(gè)半圓周與$\frac{1}{4}$圓周，設(shè)小球的軌道半徑為r，
由幾何知識可知：2nr+r=$\frac{L}{2}$，解得：r=$\frac{0.5}{2n+1}$m   n=0、1、2、…，
小球在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{5}{2n+1}$  n=0、1、2、…；
（2）根據(jù)題意，小球經(jīng)AC、AB、BD的中點(diǎn)反彈后能以最短的時(shí)間射出框架，
即小球的運(yùn)動(dòng)半徑為：R=0.5m．
由牛頓第二定律得：Bqv=m$\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=5m/s．
（3）當(dāng)小球的速度為1m/s時(shí)，其半徑為R₂=0.1m，
其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，可知小球在磁場中運(yùn)動(dòng)了9個(gè)周期．
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：T=0.2πs，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=9T=9×0.2π=1.8πs；
答：（1）為使小球能從P點(diǎn)垂直于DC射出來，小球入射的速度的大小v是$\frac{5}{2n+1}$  n=0、1、2、…；
（2）為使小球在最短的時(shí)間內(nèi)從P點(diǎn)出來，小球的入射速度v₁是5m/s；
（3）若小球以v₂=1m/s的速度入射，則需經(jīng)過1.8πs才能由P點(diǎn)出來．

點(diǎn)評 本題考查了求小球的速度、小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、應(yīng)用牛頓第二定律與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式即可正確解題，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用．