Question

兩顆靠得很近的天體稱為雙星，它們以兩者連線上某點(diǎn)O為圓心作角速度相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這樣就不至于由于萬(wàn)有引力而吸引在一起，設(shè)兩雙星質(zhì)量分別為m和M，M=3m．兩星球間的距離為L(zhǎng)，如圖，在這兩個(gè)星球間的相互萬(wàn)有引力作用下，繞它們連線上某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，求：
（1）OM間的距離r₁為多少？
（2）他們的運(yùn)動(dòng)周期為多少？（引力常數(shù)G為已知）

Answer 1

分析：雙星以兩者連線上某點(diǎn)為圓心，各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由對(duì)方的萬(wàn)有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據(jù)牛頓第二定律隔離兩個(gè)天體分別研究，再求解星體m₁的軌道半徑和周期．

解答：解：（1）雙星向心力F和角速度ω大小相等，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力：
對(duì)M有：G

Mm

L2

=Mω2r1  ①
對(duì)m有：G

Mm

L2

=mω2r2
解得：

r1

r2

=

m

M

=

1

3

又   r₁+r₂=L
所以 r1=

1

4

L
（2）由①式得：
ω2=

Gm

L2r1

又因?yàn)棣?

2π

T

所以ω2=

4π2

T2

=

Gm

L2r1

解得：T=πL

L Gm

答：（1）、OM間的距離r₁為

1

4

L；
（2）、他們的運(yùn)動(dòng)周期為πL

L Gm

．

點(diǎn)評(píng)：本題是雙星問(wèn)題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：周期相同．