Question

5．如圖所示，在水平面上，一段直軌道右端連接有一段半徑為R的1/4固定光滑圓弧軌道，直軌道上物體B左側(cè)是光滑的，右側(cè)BC之間是粗糙的，長度為2m．有一個(gè)質(zhì)量為2.0kg的物體A壓縮靠近左邊墻面的彈簧，物體A與BC之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．質(zhì)量為2.0kg的物體B被長度為l=0.5m的細(xì)線豎直懸掛，釋放A以后，A運(yùn)動(dòng)到B處與B發(fā)生彈性碰撞（碰撞時(shí)A、B的速度交換）．碰撞后B剛好能過最高點(diǎn)．

則：（1）物體B與物體A碰撞后的速度是多少？
（2）物體A最后停下的位置距離C點(diǎn)多遠(yuǎn)；
（3）如果增大開始時(shí)的A對(duì)彈簧的壓縮量使得開始時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能增大，當(dāng)初始時(shí)刻彈簧具有的彈性勢(shì)能滿足什么條件時(shí)，物體A將能第二次滑上圓弧軌道，且連接B的繩不會(huì)松弛．

Answer 1

分析 （1）由于B剛好能過最高點(diǎn)，則在最高點(diǎn)，重力提供向心力，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）當(dāng)A、B碰撞時(shí)，物體A、B在第一次碰撞之后速度互換，B做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，A靜止在于B發(fā)生彈性碰撞的位置，當(dāng)B經(jīng)過最高點(diǎn)回到最低點(diǎn)時(shí)，又與A發(fā)生彈性碰撞，速度互換，物體A在水平面BC上滑動(dòng)的總路程為s，由動(dòng)能定理列式求解；
（3）當(dāng)開始時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能增大，則第一次碰撞后A的速度增大，當(dāng)物體第一次沖上曲面后滑下，經(jīng)過BC段與B碰撞，速度交換，由于繩子不能松弛，分B物體剛好能運(yùn)動(dòng)到圓心等高和B物體剛好能完成整個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)兩種情況討論求解．

解答 解：（1）由于B剛好能過最高點(diǎn)，假設(shè)B在最高點(diǎn)的速度為v₀，則由重力完全提供向心力，則有：$mg=m\frac{v_0^2}{l}$，
可得：${v_0}=\sqrt{gl}$-----①
假設(shè)B在最低點(diǎn)時(shí)的速度為$v_B^'$，則由機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}mv_B^{'2}=mg2l+\frac{1}{2}mv_0^2$-----②
聯(lián)立①②可得：$v_B^'=\sqrt{5gl}$=5m/s
（2）當(dāng)A、B碰撞時(shí)，物體A、B在第一次碰撞之后速度互換，B做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，A靜止在于B發(fā)生彈性碰撞的位置，當(dāng)B經(jīng)過最高點(diǎn)回到最低點(diǎn)時(shí)，又與A發(fā)生彈性碰撞，速度互換，則A又以$v_A^'=5m/s$向右做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)物體A在水平面BC上滑動(dòng)的總路程為s．
由動(dòng)能定理有：$\frac{1}{2}mv_A^2=μmgs$，
得：$s=\frac{v_A^2}{2μg}$=2.5m
由于BC長度為2m，故物體停在距離C點(diǎn)0.5m的位置處．
（3）當(dāng)開始時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能增大，則第一次碰撞后A的速度增大，當(dāng)物體第一次沖上曲面后滑下，經(jīng)過BC段與B碰撞，速度交換，由于繩子不能松弛，如果B物體剛好能運(yùn)動(dòng)到圓心等高，回到最低點(diǎn)速度為：$mgl=\frac{1}{2}mv_1^2$，
物體A再次在BC面上運(yùn)動(dòng)距離s₁，$\frac{1}{2}mv_1^2=μmg{s_1}$，
得s₁=1m，物體到BC段中點(diǎn)停止，不能再上曲面CD；
如果B物體剛好能完成整個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，A再次運(yùn)動(dòng)到BC段的速度為v₂，由第一問計(jì)算可知：v₂=5m/s，物體能沖上斜面．
根據(jù)能量守恒有：${E_P}=2μmg{l_{BC}}+\frac{1}{2}mv_2^2$=65J，
所以彈簧的彈性勢(shì)能需要大于65J，物體才能第二次沖上斜面．
答：（1）物體B與物體A碰撞后的速度是5m/s；
（2）物體A最后停下的位置距離C點(diǎn)0.5m處；
（3）如果增大開始時(shí)的A對(duì)彈簧的壓縮量使得開始時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能增大，當(dāng)初始時(shí)刻彈簧具有的彈性勢(shì)能大于65J時(shí)，物體A將能第二次滑上圓弧軌道，且連接B的繩不會(huì)松弛．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，要求同學(xué)們能正確分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，明確物體恰好通過最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力．