Question

如圖，豎直放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距L，在M點(diǎn)和P點(diǎn)間接一個(gè)阻值為R的電阻，在兩導(dǎo)軌間 OO₁O₁′O′矩形區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面向里、寬為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m，電阻為r的導(dǎo)體棒ab垂直擱在導(dǎo)軌上，與磁場(chǎng)上邊邊界相距d₀．現(xiàn)使ab棒由靜止開始釋放，棒ab在離開磁場(chǎng)前已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)（棒ab與導(dǎo)軌始終保持良好的電接觸且下落過(guò)程中始終保持水平，導(dǎo)軌電阻不計(jì)）．求：
（1）棒ab在離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度；
（2）棒ab在通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）若設(shè)ab棒由靜止開始釋放處為下落起點(diǎn)，畫出棒在下落高度d+d₀過(guò)程中速度隨下落高度h變化所對(duì)應(yīng)的各種可能的圖線．

Answer 1

分析：（1）棒ab在離開磁場(chǎng)前已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，由安培力公式及平衡條件可以求出棒離開下邊界時(shí)的速度．
（2）從ab棒開始下滑到剛離開磁場(chǎng)的過(guò)程，運(yùn)用能量守恒定律可以求出金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）根據(jù)棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小，討論棒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況．

解答：解：（1）設(shè)ab棒離開磁場(chǎng)邊界前做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E=BLv    
電路中電流 I=

E

R+r

對(duì)ab棒，由平衡條件得 mg-BIL=0                   
解得 v=

mg(R+r)

B2L2

（2）從ab棒開始下滑到剛離開磁場(chǎng)的過(guò)程，由能量守恒定律得：mg（d₀+d）=E_電+

1

2

mv²                 
解得 整個(gè)電路中產(chǎn)生的焦耳熱為  E電=mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

則棒ab在通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱；E棒電=

r

R+r

[mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]
（3）設(shè)棒自由落體d₀高度歷時(shí)為t₀，由d₀=

1

2

gt₀²，得t₀=

2d0 g

棒在磁場(chǎng)中勻速時(shí)速度為v=

mg(R+r)

B2L2

，設(shè)t=

v

g

=

m(R+r)

B2L2

當(dāng)t₀=t，即d₀=

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)
當(dāng)t₀＜t，即d₀＜

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場(chǎng)后做先加速后勻速直線運(yùn)動(dòng)
當(dāng)t₀＞t，即d₀＞

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場(chǎng)后做先減速后勻速直線運(yùn)動(dòng)．
畫出棒在下落高度d+d₀過(guò)程中速度隨下落高度h變化所對(duì)應(yīng)的各種可能的圖線如圖所示．
答：
（1）棒ab在離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為

mg(R+r)

B2L2

；
（2）棒ab在通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱為

r

R+r

[mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]；

點(diǎn)評(píng)：本題最后一問(wèn)是本題的難點(diǎn)，根據(jù)棒進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)刻進(jìn)行分析討論是正確解題的關(guān)鍵．