Question

5．如圖所示，豎直放置的平行金屬板A、B中間開(kāi)有小孔，小孔的連線沿水平放置的平行金屬板C、D的中軸線，某時(shí)刻粒子源P發(fā)出一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（初速度不計(jì)），粒子在A、B間被加速后，進(jìn)入金屬板C、D之間．A、B間的電壓U_AB=U_o，C、D間的電壓U_CD=$\frac{2{U}_{0}}{3}$，金屬板C、D長(zhǎng)度為L(zhǎng)，間距d=$\frac{\sqrt{3}L}{3}$．在金屬板C、D右側(cè)有一個(gè)環(huán)形帶磁場(chǎng)，其圓心與金屬板C、D的中心O點(diǎn)重合，內(nèi)圓半徑R₁=$\frac{\sqrt{3}L}{3}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₀=$\sqrt{\frac{24m{U}_{0}}{q{L}^{2}}}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向內(nèi)，磁場(chǎng)內(nèi)圓邊界緊靠金屬板C、D右端，粒子只在紙面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，粒子的重力不計(jì)．
（1）求粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)在豎直方向上偏移的距離；
（2）若粒子不能從環(huán)形帶磁場(chǎng)的右側(cè)穿出，求環(huán)形帶磁場(chǎng)的最小寬度．
（3）在環(huán)形帶磁場(chǎng)最小寬度時(shí)，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）對(duì)粒子加速過(guò)程，由動(dòng)能定理求得進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度．粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合兩個(gè)分位移公式求解．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)時(shí)的環(huán)帶寬度為磁場(chǎng)的最小寬度，其軌跡與磁場(chǎng)邊界相切，畫(huà)出粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)的軌跡圖，根據(jù)半徑公式結(jié)合幾何關(guān)系求解．
（3）由幾何關(guān)系求出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，得出周期，即可求解時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)瞬間的速度為v₀，由動(dòng)能定理得：
qU_AB=$\frac{1}{2}$mv₀² …①
進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的加速度為：a=$\frac{q{U}_{CD}}{md}$ …②
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有：
L=v₀ t…③
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$L …④
可見(jiàn)，粒子恰好從D板右端射出．
（2）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v，對(duì)粒子的偏轉(zhuǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理有：
$\frac{1}{3}$qU₀=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑤
解得：v=$\sqrt{\frac{{8q{U_0}}}{3m}}$…⑥
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，有：R=$\frac{mv}{{q{B_0}}}$=$\frac{1}{3}$L…⑦
如圖1所示，設(shè)環(huán)形帶外圓半徑為R₂，則有：（R₂-R）²=R₁²+R²…⑧
解得：R₂=L…⑨（1分）
所求d=R₂-R₁=（1-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）L …⑩
（3）由圖2可得sinα=$\frac{\frac{1}{2}d}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則α=60° …（11）
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t_{磁場(chǎng)}=$\frac{240°}{360°}$T=$\frac{2}{3}$T …（12）
又粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πm}{{q{B_0}}}$…（13）
聯(lián)立解得：t_{磁場(chǎng)}=$\frac{2πL}{3}\sqrt{\frac{m}{{6q{U_0}}}}$…（14）
答：（1）粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)在豎直方向上偏移的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$L；
（2）若粒子不能從環(huán)形帶磁場(chǎng)的右側(cè)穿出，環(huán)形帶磁場(chǎng)的最小寬度為（1-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）L．
（3）在環(huán)形帶磁場(chǎng)最小寬度時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{2πL}{3}\sqrt{\frac{m}{{6q{U_0}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子分別在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)兩極間加上電壓時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解問(wèn)題．粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．