Question

4．如圖，光滑絕緣半球槽的半徑為R，處在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一質(zhì)量為m的帶電小球從槽的右端A處無(wú)初速沿軌道滑下，滑到最低點(diǎn)B時(shí)，球?qū)�軌道的壓力�?.5mg．求
（1）小球受到的電場(chǎng)力的大小和方向．
（2）帶電小球在滑動(dòng)過(guò)程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最底位置B時(shí)速度為v，小球從A處沿槽滑到最底位置B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理結(jié)合向心力公式聯(lián)立方程即可求解；
（2）小球在滑動(dòng)過(guò)程中最大速度的條件：是小球沿軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程某位置時(shí)切向合力為零，設(shè)此時(shí)小球和圓心間的連線與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系及動(dòng)能定理即可求解

解答 解：（1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最底位置B時(shí)速度為v，此時(shí)$N-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$…①
解得：v=$\sqrt{0.5gR}$
若不受電場(chǎng)力，則
$mgR=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
解得：$v′=\sqrt{2gR}$
因?yàn)関′＞v
所以此過(guò)程中電場(chǎng)力做負(fù)功，電場(chǎng)力方向水平向右
設(shè)電場(chǎng)力大小為F，由題意，小球從A處沿槽滑到最底位置B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$mgR-FR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…②
由①、②兩式得：$F=\frac{3}{4}mg$…③，方向水平向右
（2）小球在滑動(dòng)過(guò)程中最大速度的條件：是小球沿軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程某位置時(shí)切向合力為零，設(shè)此時(shí)小球和圓心間的連線與豎直方向的夾角為θ，如圖
mgsinθ=Fcosθ…④
由④得：tanθ=$\frac{4}{3}$小球由A處到最大速度位置得過(guò)程中mgRcosθ-FR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}$m ${v}_{m}^{2}$-0，
得：v_m=$\sqrt{\frac{9gR}{10}}$
答：（1）小球受到電場(chǎng)力的大小為 $\frac{3}{4}$mg，方向水平向右；
（2）帶電小球在滑動(dòng)過(guò)程中的最大速度$\sqrt{\frac{9gR}{10}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理及向心力公式的直接應(yīng)用，要注意電場(chǎng)力方向的判斷，難度適中