【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ) 證明:PA⊥BD;
(Ⅱ) 設PD=AD=1,求直線PC與平面ABCD所成角的正切值.

【答案】證明:(Ⅰ)在△ABD中,∠DAB=60°,AB=2AD,
由余弦定理可得:BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos∠DAB,
∴BD2=5AD2﹣2AD2=3AD2 , 則AB2=AD2+BD2 , 即BD⊥AD.
又PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BD.
∵PD∩AD=D,∴BD⊥平面PAD,則PA⊥BD;
(Ⅱ)解:∵PD⊥平面ABCD,∴∠PCD為PC與平面ABCD所稱的角.
在Rt△BAD中,AD=1,∠DAB=60°,
∴AB=2,則DC=2,
∴tan∠PCD=

【解析】(Ⅰ)在△ABD中,由已知結合余弦定理可得BD2=3AD2 , 進一步得到AB2=AD2+BD2 , 可得BD⊥AD.再由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥BD.由線面垂直的判定可得
BD⊥平面PAD,則PA⊥BD;(Ⅱ)由PD⊥平面ABCD,知∠PCD為PC與平面ABCD所稱的角.在Rt△BAD中,求解直角三角形得AB=2,則DC=2,則tan∠PCD可求.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角,掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則即可以解答此題.

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