Question

中國(guó)探月工程二期的技術(shù)先導(dǎo)星“嫦娥二號(hào)”，2010年10月1日18時(shí)59分57秒在在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心由“長(zhǎng)征三號(hào)丙”運(yùn)載火箭發(fā)射升空．北京時(shí)間6日11時(shí)6分，在北京航天飛行控制中心的精確控制下，嫦娥二號(hào)衛(wèi)星成功實(shí)施第一次近月制動(dòng)，32分鐘后，衛(wèi)星順利進(jìn)入周期約12小時(shí)的橢圓環(huán)月軌道．“這極大地提高了同學(xué)們的愛(ài)國(guó)熱情及對(duì)月球的關(guān)注程度．以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識(shí)設(shè)計(jì)的兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，且把月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）中國(guó)首個(gè)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個(gè)階段實(shí)施，大約用十年左右時(shí)間完成，而作為探月工程的第二步，目前落月工程的研發(fā)建設(shè)工作也已啟動(dòng)，計(jì)劃在2013年前完成．若我國(guó)某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個(gè)小球，小球落回到月球表面的水平距離為s．已知月球半徑為R_月，萬(wàn)有引力常量為G．試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球繞地球的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律列出月球的軌道半徑與地球質(zhì)量等物理量的關(guān)系式；物體在地球表面上時(shí)，由重力等于地球的萬(wàn)有引力求出地球的質(zhì)量，再求出月球的軌道半徑．
（2）小球在在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個(gè)小球，求出月球表面的重力加速度，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力求出月球的質(zhì)量M_月．

解答：解：（1）研究月球繞地球的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式：
   

GMM月

r2

=

M月?4π2r

T2

  ①
物體在地球表面上時(shí)，由重力等于地球的萬(wàn)有引力得：
   mg=

GM m

R2

         ②
由①②解得：r=

3	gR2T2 4π2

（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月，小球在在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個(gè)小球，
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)得：
水平方向：水平距離s=v₀t  ③
豎直方向：h=

1

2

g_月t^{2 ④}
物體在月球表面上時(shí)，由重力等于月球的萬(wàn)有引力得：
mg_月=

GM月m

R 2 月

        ⑤
由③④⑤得：M_月=

2 hv 2 0 R 2 月

Gs2

    
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是

3	gR2T2 4π2

．
（2）月球的質(zhì)量是

2 hv 2 0 R 2 月

Gs2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是衛(wèi)星類(lèi)型的問(wèn)題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬(wàn)有引力提供向心力．