Question

13．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分布有足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.05T，方向垂直紙面向里，x軸上相距為L=0.12m的P、Q兩點關(guān)于原點對稱，兩點處均有一個粒子發(fā)射器（發(fā)射一個粒子后即移開），能分別在紙面內(nèi)沿y軸正方向發(fā)射帶電粒子，已知P點發(fā)射的粒子帶負(fù)電，速率為v₁=3.0×10⁴m/s，Q點發(fā)射的粒子帶正電，粒子的比荷均為$\frac{q}{m}$=2.0×10⁷C/kg，Q處的粒子先發(fā)射，P處的粒子后發(fā)射，發(fā)射的時間差為△t=$\frac{16π}{180}$×10^-6s，已知P處發(fā)射的粒子運動t=$\frac{127π}{180}$×10^-6s時間后，恰與Q處發(fā)射的粒子在第二象限內(nèi)相遇，不計粒子的重力和粒子之間的相互作用力．
（1）求兩粒子相遇點S（圖中未畫出）的坐標(biāo)；
（2）求Q處發(fā)射粒子的速率v₂；
（3）P處發(fā)射粒子后，調(diào)節(jié)Q處發(fā)射粒子速率v₂的值，發(fā)現(xiàn)不管△t取何值，兩粒子總不能相遇，求這種情形下v₂的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛侖茲力充當(dāng)向心力可明確粒子半徑；再求得轉(zhuǎn)動周期；根據(jù)題意即可明確相遇時轉(zhuǎn)過的角度，則可明確相遇點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系可求得Q處粒子的半徑，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力即可求得粒子速率；
（3）根據(jù)題意明確如何才能使兩粒子不會相遇，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力即可求得粒子速率．

解答 解：（1）由洛侖茲力充當(dāng)向心力可得：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
P粒子半徑為：R_P=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{3×1{0}^{4}}{0.05}$×$\frac{1}{2×1{0}^{7}}$=0.03m；
周期為：T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2π}{0.05}×\frac{1}{1.0×1{0}^{7}}$=2π×10^-6s
經(jīng)t=$\frac{127π}{180}$×10^-6s后，轉(zhuǎn)動周期數(shù)為：n=$\frac{\frac{127π}{180}}{2π}$=$\frac{127}{360}$T；
故說明P粒子轉(zhuǎn)動127度后與Q粒子相遇；由幾何關(guān)系可知；交點豎直方向運動位移為：y=Rsin53°=0.03×0.8cm=0.024m；
水平方向離圓心的距離為：x=Rcos53°=0.03×0.6=0.018cm；
則x方向離O點距離為：0.03-0.018=0.012m
故坐標(biāo)為：（-0.012，0.024）
（2）由幾何關(guān)系可知，Q粒子的半徑有：R′+R′cos37°=0.06+0.012
解得：R′=0.04m；
則由Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v₂=$\frac{BqR}{m}$=0.05×0.04×2.0×10⁷=4×10⁴m/s；
（3）根據(jù)題意可知，要使兩粒子無論怎樣取時間差值，都不能相遇； 若速度較小，則兩圓外切，若速度較大，則兩圓內(nèi)切；
則Q粒子的半徑應(yīng)大于等于0.06m或小于等于0.03m；
則可得：v₂＜$\frac{BqR}{m}$=0.05×0.03×2.0×10⁷=3×10⁴m/s或
v₂＞$\frac{BqR}{m}$=0.05×0.06×2.0×10⁷=6×10⁴m/s；
答：（1）求兩粒子相遇點S（圖中未畫出）的坐標(biāo)為（-0.012，0.024）
（2）求Q處發(fā)射粒子的速率v₂為4×10⁴m/s
（3）P處發(fā)射粒子后，調(diào)節(jié)Q處發(fā)射粒子速率v₂的值，發(fā)現(xiàn)不管△t取何值，兩粒子總不能相遇，這種情形下v₂的值應(yīng)大于等于6×10⁴m/s或小于等于3×10⁴m/s

點評 本題屬于帶電粒子在磁場中的運動問題，里面涉及兩個粒子的運動情況；從而增大了難度；但是只要明確洛侖茲力充當(dāng)向心力及幾何關(guān)系的正確應(yīng)用，通過認(rèn)真分析是可以順利求解的．