Question

17．按照我國月球探測活動計劃，共分兩步．第一步“繞月”工程，圓滿完成任務(wù)后，再開展第二步“落月”工程．假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，飛船沿距月球中心距離為3R的圓形軌道Ⅰ運動，到達(dá)軌道的A點，點火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道Ⅱ的近月點B再次點火進(jìn)入近月軌道Ⅲ（B點離月球表面的高度小于月球的半徑）繞月球做圓周運動，根據(jù)以上信息，求（1）飛船在軌道I上運行的速度大小；
（2）飛船在橢圓軌道Ⅱ上A處的加速度大��；
（3）飛船在橢圓軌道Ⅱ上從A處運動到B處的最短時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力和在地面上萬有引力等于重力列方程聯(lián)立求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求解加速度大�。�
（3）求解衛(wèi)星在軌道Ⅰ上運動的周期，根據(jù)開普勒第三定律求解衛(wèi)星在Ⅱ軌道上運動的周期，由此求解飛船在橢圓軌道Ⅱ上從A處運動到B處的最短時間．

解答 解：（1）飛船在軌道Ⅰ上，萬有引力提供向心力：$\frac{GMm}{（3R）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{3R}$，
在月球表面，萬有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{R{g}_{0}}{3}}$；
（2）根據(jù)牛頓第二定律可得：$\frac{GMm}{{（3R）}^{2}}$=ma，
解得：a=$\frac{{g}_{0}}{3}$；
（3）衛(wèi)星在軌道Ⅰ上運動的周期為T₁=$\frac{2π•3R}{v}$=$6π\(zhòng)sqrt{\frac{3R}{{g}_{0}}}$；
衛(wèi)星在Ⅱ軌道運動的半長軸為$\frac{3R+R}{2}$=2R，
根據(jù)開普勒第三定律可得：$\frac{（3R）^{3}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{{（2R）}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，
解得衛(wèi)星在Ⅱ軌道上運動的周期為T₂=$4π\(zhòng)sqrt{\frac{2R}{{g}_{0}}}$，
所以飛船在橢圓軌道Ⅱ上從A處運動到B處的最短時間為t=$\frac{{T}_{2}}{2}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{2R}{{g}_{0}}}$．
答：（1）飛船在軌道I上運行的速度大小為$\sqrt{\frac{R{g}_{0}}{3}}$；
（2）飛船在橢圓軌道Ⅱ上A處的加速度大小為$\frac{{g}_{0}}{3}$；
（3）飛船在橢圓軌道Ⅱ上從A處運動到B處的最短時間為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{2R}{{g}_{0}}}$．

點評 本題主要是考查了萬有引力定律及其應(yīng)用；解答此類題目一般要把握兩條線：一是在星球表面，忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下，萬有引力近似等于重力；二是根據(jù)萬有引力提供向心力列方程進(jìn)行解答．