Question

假設宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，設其它星體對它們的引力作用可忽略．已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本構成形式，一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，第四顆位于其中心，頂點上的三顆星沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行；另一種形式是四顆星位于正方形的四個頂點上，圍繞正方形的中心做圓軌道運行．設所有星體的質量均相等，等邊三角形邊長和正方形邊長相等，試求出這兩種情況下四星系統(tǒng)的運動周期T₁和T₂之比．

Answer 1

分析：明確研究對象，對研究對象受力分析，找到做圓周運動所需向心力的來源．
在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，
根據(jù)F_合=mr（

2π

T

）²，求出星體勻速圓周運動的周期．

解答：解：對于第一種形式：
其軌道半徑為r₁=

3

3

a
由萬有引力定律和向心力公式得：

Gm2

r 2 1

+2

Gm2

a 2

cos30°=mr₁

4π2

T 2 1

解得：T₁=2πa 

a 3(1+ 3 )Gm

①
對于第二種形式：星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，其軌道半徑半徑r₂=

2

2

a
由萬有引力定律和向心力公式得：

Gm2

2a 2

+2

Gm2

a 2

cos45°=mr₂

4π2

T 2 2

解得：T₂=2πa

2a (4+ 2 )Gm

②
由①②解得：

T1

T2

=

(4+ 2 )( 3 -1) 12

答：這兩種情況下四星系統(tǒng)的運動周期之比

(4+ 2 )( 3 -1) 12

．

點評：知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．
萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關鍵在于進行正確受力分析．