Question

如圖所示的“S”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部 分是由兩個(gè)半徑相等的半圓對(duì)接而成，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平面上不可移動(dòng)。彈射裝置將一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從a點(diǎn)水平彈射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過(guò)軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出。已知小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，不計(jì)其他機(jī)械能損失，ab段長(zhǎng)L=1.25 m，圓的半徑R=0.1 m，小球質(zhì)量m=0.01 kg，軌道質(zhì)量M=0.26 kg，g=10 m/s²，求：
（1）要使小球從d點(diǎn)拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足什么條件？
（2）設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對(duì)地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當(dāng)v₁至少為多少時(shí)，小球經(jīng)過(guò)兩半圓的對(duì)接處c點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為零。
（3）若v₀'=3 m/s，小球最終停在何處？

Answer 1

解：（1）設(shè)小球到達(dá)d點(diǎn)處速度為v_d，由動(dòng)能定理，得 ①

若小球由d點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)剛好經(jīng)過(guò)圖中的O點(diǎn)，則有 ②
R=v_dt ③
聯(lián)立①②③并代入數(shù)值得 ④
小球的初速度v₀需滿足 ⑤
（2）設(shè)小球到達(dá)c點(diǎn)處速度為v_c，由動(dòng)能定理，得 ⑥
當(dāng)小球通過(guò)c點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得 ⑦
要使軌道對(duì)地面的壓力為零，則有N'=Mg ⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧并代入數(shù)值，解得小球的最小速度v₁=6 m/s ⑨
（3）小球能通過(guò)d點(diǎn)，需滿足v_d≥0，由動(dòng)能定理 ⑩
得
因，小球過(guò)不了d點(diǎn)而沿軌道原路返回
對(duì)整個(gè)過(guò)程由動(dòng)能定理，有
得x=2.25 m
小球最終停在a右側(cè)0.25 m處