Question

（23分）有一豎直放置、兩端封閉的長玻璃管，管內(nèi)為真空，管內(nèi)有一小球自某處自由下落（初速度為零），落到玻璃管底部時(shí)與底部發(fā)生彈性碰撞．以后小球?qū)⒃诓ＡЧ軆?nèi)不停地上下跳動(dòng)�，F(xiàn)用支架固定一照相機(jī)，用以拍攝小球在空間的位置。每隔一相等的確定的時(shí)間間隔T拍攝一張照片，照相機(jī)的曝光時(shí)間極短，可忽略不計(jì)。從所拍到的照片發(fā)現(xiàn)，每張照片上小球都處于同一位置。求小球開始下落處離玻璃管底部距離（用H表示）的可能值以及與各H值相應(yīng)的照片中小球位置離玻璃管底部距離的可能值。

Answer 1

解法一

小球沿豎直線上下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其離開玻璃管底部的距離h隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖所示．設(shè)照片拍攝到的小球位置用A表示，A離玻璃管底部的距離為h_A，小球開始下落處到玻璃管底部的距離為H.小球可以在下落的過程中經(jīng)過A點(diǎn)，也可在上升的過程中經(jīng)過A點(diǎn).現(xiàn)以表示小球從最高點(diǎn)（即開始下落處）落到玻璃管底部所需的時(shí)間（也就是從玻璃管底部反跳后上升到最高點(diǎn)所需的時(shí)間），表示小球從最高點(diǎn)下落至A點(diǎn)所需的時(shí)間（也就是從A點(diǎn)上升至最高點(diǎn)所需的時(shí)間），表示小球從A點(diǎn)下落至玻璃管底部所需的時(shí)間（也就是從玻璃管底部反跳后上升至A點(diǎn)所需的時(shí)間）.顯然，.根據(jù)題意，在時(shí)間間隔Τ 的起始時(shí)刻和終了時(shí)刻小球都在A點(diǎn)．用n表示時(shí)間間隔 Τ 內(nèi)（包括起始時(shí)刻和終了時(shí)刻）小球位于A點(diǎn)的次數(shù)（n≥2）.下面分兩種情況進(jìn)行討論：

1．A點(diǎn)不正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有

                             （1）

在（1）式中，根據(jù)題意可取中的任意值，而

                        （2）

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有

                      （3）

由（3）式得

                                                                           （4）

由（1）、（3）、（4）式知，不論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有

                                                                   （5）

因此可求得，開始下落處到玻璃管底部的距離的可能值為

                                                          （6）

若用表示與n對應(yīng)的H值，則與相應(yīng)的A點(diǎn)到玻璃管底部的距離

                                                                  （7）

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可取中的任意值，故有

                                            n=3,5,7,· · ·                  （8）

可見與相應(yīng)的的可能值為0與之間的任意值．

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，由（6）式、（7）式求得的可能值

                                               n=2,4,6,· · ·                （9）

2．若A點(diǎn)正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．

無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)都有

                               n=2,3,4,· · ·        （10）

                   n=2,3,4,· · ·        （11）

                     n=2,3,4,· · ·        （12）

或

               （13）

解法二

因?yàn)檎障鄼C(jī)每經(jīng)一時(shí)間間隔T拍攝一次時(shí)，小球都位于相片上同一位置，所以小球經(jīng)過該位置的時(shí)刻具有周期性，而且T和這個(gè)周期的比值應(yīng)該是一整數(shù)．下面我們就研究小球通過某個(gè)位置的周期性．

設(shè)小球從最高點(diǎn)（開始下落處）落下至管底所需時(shí)間為τ ，從最高點(diǎn)下落至相片上小球所在點(diǎn)（A點(diǎn)）所需時(shí)間為，從A點(diǎn)下落至管底所需時(shí)間為，則

               （1）

（小球上升時(shí)通過相應(yīng)路程段所需時(shí)間與下落時(shí)同一路程所需時(shí)間相同，也是τ、和）

從小球在下落過程中經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)刻開始，小球經(jīng)過的時(shí)間后上升至A點(diǎn)，再經(jīng)過時(shí)間后又落到A點(diǎn)，此過程所需總時(shí)間為．以后小球?qū)⒅貜?fù)這樣的運(yùn)動(dòng)．小球周期性重復(fù)出現(xiàn)在A點(diǎn)的周期是多少？ 分兩種情況討論：

（1）． ，和都不是小球在A點(diǎn)重復(fù)出現(xiàn)的周期，周期是．

（2）． ，小球經(jīng)過時(shí)間回到A點(diǎn)，再經(jīng)過時(shí)間又回到A點(diǎn)，所以小球重復(fù)出現(xiàn)在A點(diǎn)的周期為τ．

下面就分別討論各種情況中的可能值和A點(diǎn)離管底的距離的可能值．（如果從小球在上升過程中經(jīng)過A點(diǎn)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，結(jié)果一樣，只是和對調(diào)一下）

1．H的可能值

       （1）．較普遍的情況，．與的比值應(yīng)為一整數(shù)，的可能值應(yīng)符合下式

       ，           （2）

由自由落體公式可知，與此相應(yīng)的的數(shù)值為

                    （3）

（2）．．的可能值應(yīng)符合下式

                          （4）

故的可能值為

                  （5）

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即時(shí)，（5）式與（3）式完全相同．可見由（3）式求得的的可能值包含了的全部情況和的一部分情況．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即時(shí)，由（5）式得出的的可能值為

                    （6）

它們不在（3）式之內(nèi)，故（3）式和（6）式得出的合在一起是的全部的可能值．

2．與各H值相應(yīng)的的可能值

a.與相應(yīng)的的可能值

由于在求得（3）式時(shí)未限定A點(diǎn)的位置，故的數(shù)值可取0和之間的任意值，即

                           （7）

b. 與（為奇數(shù)）相應(yīng)的的可能值

這些數(shù)值與A位于特定的位置，，相對應(yīng)，所以對于每一個(gè)對應(yīng)的是一個(gè)特定值，它們是

                       （8）

評分標(biāo)準(zhǔn)：

本題23分