Question

如圖所示，ABCDEF是一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正六邊形盒，各邊均為絕緣板，盒外有方向垂直紙面向里、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．在盒內(nèi)有兩個(gè)與AF邊平行的金屬板M、N，且金屬板N靠近盒子的中心O點(diǎn)，金屬板M和盒子AF邊的中點(diǎn)均開有小孔，兩小孔與O點(diǎn)在同一直線上．現(xiàn)在O點(diǎn)靜止放置一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計(jì)粒子的重力）．
（1）如果在金屬板N、M間加上電壓U_NM=U₀時(shí)，粒子從AF邊小孔射出后直接打在A點(diǎn)，試求電壓U₀的大小．
（2）如果改變金屬板N、M間所加電壓，試判斷粒子從AF邊小孔射出后能否直接打在C點(diǎn)．若不能，說(shuō)明理由；若能，請(qǐng)求出此時(shí)電壓U_NM的大小．
（3）如果給金屬板N、M間加一合適的電壓，粒子從AF邊小孔射出后恰好能以最短時(shí)間回到該小孔（粒子打在盒子各邊時(shí)都不損失動(dòng)能），試求最短時(shí)間．

Answer 1

（1）依題意，R=

L

4

，
由qvB=m

v2

R

，
及qU₀=

1

2

mv02，
解得U₀=

qB2L2

32m

（2）設(shè)AF中點(diǎn)為G，連接GC，作其垂直平分線，與AF延長(zhǎng)線交點(diǎn)即為圓心
由相似三角形得R′=O′G=

13L

4

，
由牛頓第二定律，qvB=

mv2

R′

，
∵qU₀=

1

2

mv02，
∴U_NM=

169qB2L2

32m

（3）由于粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期T=

2πm

qB

，T與速率無(wú)關(guān)粒子撞擊BC中點(diǎn)和DE中點(diǎn)后回到G，
用時(shí)最短圓周半徑R″=

3

2

L，
得到最短時(shí)間t=

300

360

T×3=

5πm

qB

答：（1）如果在金屬板N、M間加上電壓U_NM=U₀時(shí)，粒子從AF邊小孔射出后直接打在A點(diǎn)，則電壓U₀的大小U

qB2L2

32m

．
（2）如果改變金屬板N、M間所加電壓，試判斷粒子從AF邊小孔射出后能否直接打在C點(diǎn)．若不能，說(shuō)明理由；若能，此時(shí)電壓U_NM的大小

169qB2L2

32m

．
（3）如果給金屬板N、M間加一合適的電壓，粒子從AF邊小孔射出后恰好能以最短時(shí)間回到該小孔，則最短時(shí)間為

5πm

qB

．