Question

1．在光滑水平面上建立如圖所示坐標系，有一范圍足夠大的勻強磁場Ⅰ，磁場的方向垂直于水平面（xOy平面）豎直向下．磁感應強度大小B沿y軸方向沒有變化，沿x軸正方向均勻增加，變化率為k=$\frac{△B}{△x}$=0.1T/m．有一個質量m=0.1kg、電阻R=0.01Ω、長L=40cm、寬h=20cm、不變形的矩形金屬線圈，以v₀=20cm/s的初速度從圖示位置沿x軸正方向開始運動．
（1）為使線圈勻速運動，求需要對線圈施加的外力大��；
（2）若不施加外力，求線圈在水平面運動的最大位移；
（3）若不施加外力，為使線圈勻速運動，要在空間中再疊加一個方向垂直xOy平面豎直向上且隨時間均勻增大的勻強磁場Ⅱ，試求勻強磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間的變化率$\frac{△B′}{△t}$．

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律，結合安培力公式，結合平衡條件，即可求解；
（2）根據牛頓第二定律，及積分求和，即可求解；
（3）依據動生感應電動勢與感生電動勢表達式，結合為使線圈勻速運動，則線圈所受安培力必為零，即可求解．

解答 解：（1）根據法拉第電磁感應定律可得：
線圈中感應電動勢E=B₂hv₀-B₁hv₀=khLv₀；
線圈所受安培力
F=B₂hI-B₁hI=$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$v₀=1.28×10^-3 N
為使線圈勻速運動，需要對線圈施加的外力大小
F_外=F=1.28×10^-3 N．
（2）若不施加外力，線圈最終會在安培力作用下停下來，對線圈應用牛頓第二定律得：F_安=ma
即：$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$v=ma
$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$v△t=ma△t
對等式兩邊求和得：$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$x=mv₀，
即x=$\frac{m{v}_{0}R}{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}$
代入數據得：x=3.125 m．
（3）若不施加外力，為使線圈勻速運動，則線圈所受安培力必為零，
所以線圈中的感應電流為零，即線圈中的感應電動勢為零，則有
E=（B₂hv₀-B₁hv₀）-$\frac{△B′}{△t}$Lh=khLv₀-$\frac{△B′}{△t}$Lh=0
解得：$\frac{△B′}{△t}$=kv₀=0.02 T/s．
答：（1）需要對線圈施加的外力大小1.28×10^-3 N；　
（2）線圈在水平面運動的最大位移3.125 m；
（3）勻強磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間的變化率$\frac{△B′}{△t}$為0.02 T/s．

點評 考查法拉第電磁感應定律，掌握安培力的公式，理解積分求和的方法，注意為使線圈勻速運動，則線圈所受安培力必為零，是解題的突破口．