Question

12．如圖甲所示，BCD為豎直放置的半徑R=0.20m的半圓形軌道，在半圓形軌道的最低位置B和最高位置D均安裝了壓力傳感器，可測(cè)定小物塊通過這兩處時(shí)對(duì)軌道的壓力F_B和F_D．半圓形軌道在B位置與水平直軌道AB平滑連接，在D位置與另一水平直軌道EF相對(duì)，其間留有可讓小物塊通過的縫隙．一質(zhì)量m=0.20kg的小物塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)），以不同的初速度從M點(diǎn)沿水平直軌道AB滑行一段距離，進(jìn)入半圓形軌道BCD經(jīng)過D位置后平滑進(jìn)入水平直軌道EF．一質(zhì)量為2m的小物塊Q（可視為質(zhì)點(diǎn)）被鎖定在水平直軌道EF上，其右側(cè)固定一個(gè)勁度系數(shù)為k=500N/m的輕彈簧．如果對(duì)小物塊Q施加的水平力F≥30N，則它會(huì)瞬間解除鎖定沿水平直軌道EF滑行，且在解除鎖定的過程中無能量損失．已知彈簧的彈性勢(shì)能公式E_P=$\frac{1}{2}$kx²，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．g取10m/s²．

（1）通過傳感器測(cè)得的F_B和F_D的關(guān)系圖線如圖乙所示．若軌道各處均不光滑，且已知軌道與小物塊P之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.10，MB之間的距離x_MB=0.50m．當(dāng) F_B=18N時(shí)，求小物塊P從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道最高位置D的過程中損失的總機(jī)械能；
（2）若軌道各處均光滑，在某次實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得P經(jīng)過B位置時(shí)的速度大小為2$\sqrt{6}$m/s．求在彈簧被壓縮的過程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合B點(diǎn)的壓力大小求出B點(diǎn)的速度．
根據(jù)：△E₁=μmgx_MB求出小物塊P從M到B所損失的機(jī)械能，根據(jù)牛頓第二定律求出D點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出B到D過程中克服摩擦力做功，從而求出小物塊P從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)D的過程中所損失的機(jī)械能．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求出D點(diǎn)的速度，通過能量守恒、動(dòng)量守恒定律，求出彈簧的最大彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）設(shè)小物塊P在B、D兩位置受軌道彈力大小分別為N_B、N_D，速度大小分別為v_B、v_D．
根據(jù)牛頓第三定律可知：N_B=F_B，N_D=F_D，
小物塊P通過B位置時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：
N_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=4.0m/s；
小物塊P從M到B所損失的機(jī)械能為：△E₁=μmgx_MB=0.10J，
小物塊P通過D位置時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：
N_D+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=2.0m/s，
小物塊P由B位置運(yùn)動(dòng)到D位置的過程中，克服摩擦力做功為W_f，根據(jù)動(dòng)能定理有：
-W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
代入數(shù)據(jù)解得：W_f=0.40J，
小物塊P從B至D的過程中所損失的機(jī)械能：△E₂=0.40J，
小物塊P從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)D的過程中所損失的機(jī)械能：△E=△E₁+△E₂=0.50J；
（2）在軌道各處均光滑的情況下，設(shè)小物塊P運(yùn)動(dòng)至B、D位置速度大小分別為v_B′、v_D′．根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v'_B}^2=\frac{1}{2}m{v'_D}^2+2mgR$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_D′=4.0m/s，
小物塊P向小物塊Q運(yùn)動(dòng)，將壓縮彈簧，當(dāng)彈簧的壓縮量x=F/k時(shí)，小物塊Q恰好解除鎖定．
設(shè)小物塊P以v_x速度大小開始?jí)嚎s彈簧，當(dāng)其動(dòng)能減為零時(shí)，剛好使小物塊Q解除鎖定．
根據(jù)能量守恒有：$\frac{1}{2}m{v_x}^2=\frac{1}{2}k{x^2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_x=3.0m/s，
由于v_D′＞v_x，因此小物塊Q被解除鎖定后，小物塊P的速度不為零，設(shè)其速度大小為v_P，
根據(jù)能量守恒有 $\frac{1}{2}m{v'_D}^2=\frac{1}{2}k{x^2}+\frac{1}{2}m{v_P}^2$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_P=$\sqrt{7}$m/s，
當(dāng)小物塊Q解除鎖定后，P、Q以及彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，彈簧的壓縮量最大．以向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：
mv_P=（m+2m）v，
彈簧的最大彈性勢(shì)能為：${E_P}=\frac{1}{2}mv'_D^2-\frac{1}{2}（m+2m）{v^2}=1.37$J；
答：（1）小物塊P從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道最高位置D的過程中損失的總機(jī)械能為0.5J；
（2）在彈簧被壓縮的過程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能為1.37J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、機(jī)械能守恒、動(dòng)能定理、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，關(guān)鍵合理地選擇研究的過程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．