Question

20．質(zhì)量分別為m₁和m₂的兩個小球疊放在一起，從高度為h處自由落下，如圖所示．已知h遠(yuǎn)大于兩球半徑，所有的碰撞都是完全彈性碰撞，且都發(fā)生在豎直方向上．若碰撞后m₂恰處于平衡狀態(tài)，求
（1）兩個小球的質(zhì)量之比m₁：m₂；
（2）小球m₁上升的最大高度．

Answer 1

分析 下降過程為自由落體運動，觸地時兩球速度相同，但m₂碰撞地之后，速度瞬間反向，大小相等，而m₁也會與m₂碰撞，選m₁與m₂碰撞過程為研究過程，碰撞前后動量守恒，能量守恒，列方程解得m₁速度，之后m₁做豎直上拋運動，由動能定理或運動學(xué)公式求解反彈高度．

解答 解：下降過程為自由落體運動，由勻變速直線運動的速度位移公式得：
v²=2gh，
解得觸地時兩球速度相同，為：v=$\sqrt{2gh}$；
m₂碰撞地之后，速度瞬間反向，大小相等，選m₁與m₂碰撞過程為研究過程，碰撞前后動量守恒，設(shè)碰后m₁、m₂速度大小分別為v₁、v₂，選向上方向為正方向，由動量守恒定律得：
m₂v-m₁v=m₁v₁+m₂v₂，
由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²，
由題可知：m₂=3m₁，即$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{1}{3}$
聯(lián)立解得：v₁=2$\sqrt{2gh}$，
反彈后高度為：H=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}$=4h；
答：（1）兩個小球的質(zhì)量之比m₁：m₂為1：3；（2）小球m₁上升的最大高度為4h．

點評 本題首先要分析清楚兩球的運動過程，知道完全彈性碰撞過程中，動量守恒，機械能也守恒，選準(zhǔn)合適的作用過程，應(yīng)用動量守恒定律和能量守恒定律列方程解決，有一定難度．