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如圖所示,質量為m的小球,由長為l的細線系住,線能承受的最大拉力是9mg,細線的另一端固定在A點,AB是過A的豎直線,E為AB上的一點,且AE=0.5l,過E作水平線EF,在EF上釘鐵釘D,現將小球拉直水平,然后由靜止釋放,小球在運動過程中,不計細線與釘子碰撞時的能量損失,不考慮小球與細線間的碰撞.
(1)若釘鐵釘位置在E點,求細線與釘子碰撞前后瞬間,細線的拉力分別是多少?
(2)若小球能繞釘子在豎直面內做完整的圓周運動,求釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值.
分析:(1)若釘子在E點,則小球經過B點前后瞬間,速度大小不變,半徑變?yōu)樵瓉硪话耄雀鶕⻊幽芏ɡ砬蟪龅竭_B點的速度,再根據向心力公式分別求出繩子的拉力;
(2)設在D點繩剛好承受最大拉力,當小球落到D點正下方時,繩受到的最大拉力為F,此時小球的速度v1,由牛頓第二定律及機械能守恒定律列式求解
x的最大值,小球恰好能在豎直平面內做圓周運動,在最高點重力提供向心力,列出方程,從釋放到運動到最高點的過程中運用動能定理列出方程,聯(lián)立即可求解最小值,從而求出范圍.
解答:解:(1)小球釋放后沿圓周運動,運動過程中機械能守恒,設運動到最低點速度為v,由機械能守恒定律得:
mgl=
1
2
mv2
,碰釘子瞬間前后小球運動的速率不變,碰釘子前瞬間圓周運動半徑為l,碰釘子前瞬間線的拉力為F1,碰釘子后瞬間圓周運動半徑為
1
2
l,碰釘子后瞬間線的拉力為F2,由圓周運動、牛頓第二定律得:
F1-mg=
mv2
l

F2-mg=
mv2
1
2
l

得F1=3mg,F2=5mg
(2)設在D點繩剛好承受最大拉力,記DE=x1,則:AD=
x12+(
l
2
)
2

懸線碰到釘子后,繞釘做圓周運動的半徑為:r1=l-AD=l-
x12+(
l
2
)
2

當小球落到D點正下方時,繩受到的最大拉力為F,此時小球的速度v1,由牛頓第二定律有:
F-mg=m
v12
r1
結合F≤9mg
由機械能守恒定律得:mg (
l
2
+r1)=
1
2
mv12
由上式聯(lián)立解得:x1
2
3
l

隨著x的減小,即釘子左移,繞釘子做圓周運動的半徑越來越大.轉至最高點的臨界速度也越來越大,但根據機械能守恒定律,半徑r越大,轉至最高點的瞬時速度越小,當這個瞬時速度小于臨界速度時,小球就不能到達圓的最高點了.
設釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達圓的最高點,設EG=x2
則:AG=
x22+(
l
2
)
2
,r2=l-AG=l-
x22+(
l
2
)
2

在最高點:mg≤
v12
r2
 由機械能守恒定律得:mg (
l
2
-r2)=
1
2
mv12 聯(lián)立得:x2
7
6
l

釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值范圍是:
7
6
l
≤x≤
2
3
l

答:(1)若釘鐵釘位置在E點,細線與釘子碰撞前后瞬間,細線的拉力分別是3mg和5mg;
(2)若小球能繞釘子在豎直面內做完整的圓周運動,則釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值范圍為
7
6
l
≤x≤
2
3
l
點評:本題考查的知識點比較多,涉及到圓周運動、機械能守恒定律和動能定理,要求同學們解題時能熟練運用動能定理并結合幾何知識解題,難度較大.
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