Question

如圖所示，質量為m的小球，由長為l的細線系住，線能承受的最大拉力是9mg，細線的另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，現將小球拉直水平，然后由靜止釋放，小球在運動過程中，不計細線與釘子碰撞時的能量損失，不考慮小球與細線間的碰撞．
（1）若釘鐵釘位置在E點，求細線與釘子碰撞前后瞬間，細線的拉力分別是多少？
（2）若小球能繞釘子在豎直面內做完整的圓周運動，求釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值．

Answer 1

分析：（1）若釘子在E點，則小球經過B點前后瞬間，速度大小不變，半徑變?yōu)樵瓉硪话耄�先根據動能定理求出到達B點的速度，再根據向心力公式分別求出繩子的拉力；
（2）設在D點繩剛好承受最大拉力，當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v₁，由牛頓第二定律及機械能守恒定律列式求解
x的最大值，小球恰好能在豎直平面內做圓周運動，在最高點重力提供向心力，列出方程，從釋放到運動到最高點的過程中運用動能定理列出方程，聯(lián)立即可求解最小值，從而求出范圍．

解答：解：（1）小球釋放后沿圓周運動，運動過程中機械能守恒，設運動到最低點速度為v，由機械能守恒定律得：
mgl=

1

2

mv2，碰釘子瞬間前后小球運動的速率不變，碰釘子前瞬間圓周運動半徑為l，碰釘子前瞬間線的拉力為F₁，碰釘子后瞬間圓周運動半徑為

1

2

l，碰釘子后瞬間線的拉力為F₂，由圓周運動、牛頓第二定律得：
F1-mg=

mv2

l

，
F2-mg=

mv2

1 2 l

得F₁=3mg，F₂=5mg
（2）設在D點繩剛好承受最大拉力，記DE=x₁，則：AD=

x12+( l 2 )2

懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運動的半徑為：r₁=l-AD=l-

x12+( l 2 )2

當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v₁，由牛頓第二定律有：
F-mg=m

v12

r1

結合F≤9mg
由機械能守恒定律得：mg （

l

2

+r₁）=

1

2

mv₁²
由上式聯(lián)立解得：x₁≤

2

3

l
隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運動的半徑越來越大．轉至最高點的臨界速度也越來越大，但根據機械能守恒定律，半徑r越大，轉至最高點的瞬時速度越小，當這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達圓的最高點了．
設釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達圓的最高點，設EG=x₂，
則：AG=

x22+( l 2 )2

，r₂=l-AG=l-

x22+( l 2 )2

在最高點：mg≤

v12

r2

 由機械能守恒定律得：mg （

l

2

-r₂）=

1

2

mv₁² 聯(lián)立得：x₂≥

7

6

l
釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值范圍是：

7

6

l≤x≤

2

3

l
答：（1）若釘鐵釘位置在E點，細線與釘子碰撞前后瞬間，細線的拉力分別是3mg和5mg；
（2）若小球能繞釘子在豎直面內做完整的圓周運動，則釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值范圍為

7

6

l≤x≤

2

3

l．

點評：本題考查的知識點比較多，涉及到圓周運動、機械能守恒定律和動能定理，要求同學們解題時能熟練運用動能定理并結合幾何知識解題，難度較大．