Question

16．兵二高一年級(jí)何勇老師于2016年5月23日參加了國(guó)防科大的“百所名校與國(guó)防科大共育強(qiáng)軍夢(mèng)”的論壇．在參觀國(guó)防科大的重點(diǎn)科研成果“北斗系統(tǒng)”時(shí)了解到，北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)空間段由5顆靜止軌道衛(wèi)星和30顆非靜止軌道衛(wèi)星組成，已實(shí)現(xiàn)2012年覆蓋亞太地區(qū)，預(yù)計(jì)2020年左右覆蓋全球，現(xiàn)已成功發(fā)射23顆衛(wèi)星．現(xiàn)假設(shè)其中一顆“靜止軌道衛(wèi)星”的質(zhì)量為m，且已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T．求：
（1）該衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的高度；
（2）該衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的線速度．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)萬有引力提供向心力，地球表面的物體所受重力等于萬有引力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出衛(wèi)星的軌道半徑，然后求出衛(wèi)星的高度．
（2）萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出衛(wèi)星的線速度．

解答 解：（1）萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（2）萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$，
地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：v=$\sqrt{\frac{g}{\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}}$R；
答：（1）該衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的高度為：$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（2）該衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的線速度為$\sqrt{\frac{g}{\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求衛(wèi)星的高度、衛(wèi)星的線速度，考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力是解題的前提，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．