Question

17．游樂場的過山車的運(yùn)行過程可以抽象為如圖所示模型．弧形軌道的下端與圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端A點(diǎn)靜止滑下，進(jìn)入圓軌道后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，最后離開．試分析
（1）A點(diǎn)離地面的高度h至少要多大，小球才可以順利通過圓軌道最高點(diǎn)（已知圓軌道的半徑為R，重力加速度為g，不考慮摩擦等阻力）．
（2）若小球恰能過圓軌道最高點(diǎn)，求小球過圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．
（3）實(shí)際的過山車，由于軌道摩擦阻力的存在，釋放點(diǎn)A的高度h比理論值要大些．若h=3.5R時(shí)，過山車恰好順利通過圓軌道最高點(diǎn)，那么，過山車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓軌道最高點(diǎn)的過程中克服摩擦阻力做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）要使小球能夠通過圓軌道最高點(diǎn)，那么小球在最高點(diǎn)時(shí)恰好由其重力作為向心力，由向心力的公式可以求得此時(shí)的最小速度，再由機(jī)械能守恒可以求得A點(diǎn)離地面的高度h．
（2）由機(jī)械能守恒定律求出小球通過最低點(diǎn)時(shí)的速度，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求小球過圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．
（3）由A點(diǎn)到圓軌道最高點(diǎn)的全過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解即可．

解答 解：（1）小球要能通過圓軌道最高點(diǎn)，則在圓軌道最高點(diǎn)恰好由重力提供向心力，即
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
小球由A點(diǎn)到圓弧最高點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律得
 mgh=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²
聯(lián)立以上各式解得h=2.5R
（2）到最低點(diǎn)的速度假設(shè)為v₁．由機(jī)械能守恒定律得：
  mg•2.5R=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
又在最低點(diǎn)，有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得F_N=6mg
由牛頓第三定律可得，小球?qū)�軌道的壓力大小�?mg．方向豎直向下．
（3）由A點(diǎn)到圓軌道最高點(diǎn)全程，應(yīng)用動(dòng)能定理得：
 mg（3.5R-2R）-W_Ff=$\frac{1}{2}$mv²
而v=$\sqrt{gR}$
可得W_Ff=mgR
答：
（1）A點(diǎn)離地面的高度h至少要2.5R，小球才可以順利通過圓軌道最高點(diǎn)．
（2）若小球恰能過圓軌道最高點(diǎn)，小球過圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為6mg．方向豎直向下．
（3）過山車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓軌道最高點(diǎn)的過程中克服摩擦阻力做的功是mgR．

點(diǎn)評 本題屬于圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問題，關(guān)鍵要把握小球在最高點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)：由重力恰好提供向心力，同時(shí)要明確動(dòng)能定理是求變力做功常用的方法．