Question

13．如圖所示，質(zhì)量為M=1kg的平板小車(chē)的左端放著一個(gè)質(zhì)量為m=3kg的小鐵塊，鐵塊和小車(chē)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5．開(kāi)始時(shí)，小車(chē)和鐵塊一起以速度v=3m/s在光滑水平地面上向右運(yùn)動(dòng)，之后小車(chē)與墻壁發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短，碰撞后小車(chē)原速率反向彈回．車(chē)身足夠長(zhǎng)，使得鐵塊不會(huì)與墻相碰，也不會(huì)從車(chē)上落下（g取10m/s²）．求：
（1）小車(chē)碰撞后，小車(chē)的右端與墻之間的最大距離s₁及小車(chē)的最小長(zhǎng)度；
（2）小車(chē)和墻相碰后所通過(guò)的總路程．

Answer 1

分析 （1）小車(chē)與墻碰撞后，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可求得速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得小車(chē)距墻壁的最大距離；由功能關(guān)系可求得小車(chē)的長(zhǎng)度；
（2）對(duì)系統(tǒng)由動(dòng)量守恒定律可求得碰后速度的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)規(guī)律可求得的總路程．

解答 解：（1）小車(chē)與墻碰撞后，小車(chē)的速度向左，物體的速度向右；大小均為3m/s；設(shè)向右為正方向，M速度為零時(shí)，m的速度為v；
則由動(dòng)量守恒定律可知：
mv₀-Mv₀=mv+0
解得：v=2m/s；
因m在M上做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度a₁=-μg=-0.5×10=-5m/s²；
由v=v₀+at可得：
t=$\frac{2-3}{-5}$=0.2s；
小車(chē)向左做減速運(yùn)動(dòng)，加速度a'=$\frac{μmg}{M}$=15m/s²；
M向左運(yùn)動(dòng)的位移x=$\frac{1}{2}a′{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×15×0.04$=0.3m；此為小車(chē)距墻壁的最大距離；
小車(chē)向右繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，假設(shè)到達(dá)最右端時(shí)速度恰好相同，則由動(dòng)量守恒定律可知：
mv₀=（M+m）v₁
解得：v₁=1.5m；
由功能關(guān)系可知：
$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²+μmgL
解得：L=0.9m；
（2）設(shè)車(chē)與墻第n次碰后邊率為v_n，則第（n+1）次碰后速率為v_n+1，對(duì)物塊與車(chē)由動(dòng)量守恒得：
mv_n-Mv_n=（m+M）v_n+1
所以v_n+1=$\frac{（m-M{）v}_{N}}{m+M}$=$\frac{1}{2}$v_n．
車(chē)與墻第（n+1）次碰后最大位移
s_n+1=$\frac{{v}_{N+1}^{2}}{2a}$=$\frac{1}{4}$S_n
可見(jiàn)車(chē)每次與墻碰后的最大位移是一個(gè)等比數(shù)列，其q=$\frac{1}{4}$，
所以車(chē)與墻碰后的總路程
S_M=2（S₁+S₂+…+S_n+…）=2 S₁•（1十$\frac{1}{4}$十…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$+…）=$\frac{{2S}_{1}}{1-q}$
車(chē)第一次與墻碰后最大位移 S₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$，
a=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.5×30}{1}$=15m/s²
可算得 S₁=0.3m
所以S_M=1.2m
答：（1）小車(chē)碰撞后，小車(chē)的右端與墻之間的最大距離為0.3m；小車(chē)的最小長(zhǎng)度為0.9m；
（2）小車(chē)和墻相碰后所通過(guò)的總路程為1.2m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒、功能關(guān)系及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律的應(yīng)用，要注意正確分析物理過(guò)程明確物理規(guī)律的應(yīng)用；同時(shí)注意數(shù)學(xué)規(guī)律的正確應(yīng)用．