Question

如圖，一勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，其邊界是半徑為R的圓．MN為圓的一直徑．在M點(diǎn)有一粒子源可以在圓平面內(nèi)向不同方向發(fā)射質(zhì)量m、電量-q速度為v的  粒子，粒子重力不計(jì)，其運(yùn)動(dòng)軌跡半徑大于R． 
（1）求粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間（答案中可包含某角度，需注明該角度的正弦或余弦  值）；
（2）試證明：若粒子沿半徑方向入射，則粒子一定沿半徑方向射出磁場(chǎng)．

Answer 1

分析：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后若要粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長(zhǎng)等于磁場(chǎng)的直徑時(shí)即可．由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑，由幾何知識(shí)求解軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角α，由求解粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）若要粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，則對(duì)應(yīng)的圓心角最大．所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長(zhǎng)等于磁場(chǎng)的直徑時(shí)，滿足題意．
由洛倫茲力提供向心力：Bqv=

mv2

r

得：r=

mv

qB

圖中：sinθ=

R

r

=

BqR

mv

運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間：
t=

2θ?r

v

=

2mθ

qB

（公式中sinθ=

Bqv

mv

）
（2）證明：如圖所示，當(dāng)粒子沿半徑的方向射入時(shí)，r與R垂直，而出射速度v的方向與軌跡的半徑r垂直，
所以出射速度與R在同一條直線上，即粒子一定沿半徑方向射出磁場(chǎng)．證畢．
答：（1）子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間

2mθ

qB

（公式中sinθ=

Bqv

mv

）．（2）證明略．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求解軌跡的半徑．