Question

【題目】如圖所示，半徑為、質量為m的小球用兩根不可伸長的輕繩a、b連接，兩輕繩的另一端系在一根豎直桿的A、B兩點上，A、B兩點相距為l，當兩輕繩伸直后，A、B兩點到球心的距離均為l．當豎直桿以自己為軸轉動并達到穩(wěn)定時（細繩a、b與桿在同一豎直平面內）．求：

（1）豎直桿角速度ω為多大時，小球恰離開豎直桿？

（2）輕繩a的張力Fa與豎直桿轉動的角速度ω之間的關系．

Answer 1

【答案】（1）豎直桿角速度ω為時，小球恰離開豎直桿；

（2）輕繩a的張力Fa與豎直桿轉動的角速度ω之間的關系為：

①0≤ω2≤時，Fa=；

②時，；

③ω2時，．

【解析】試題分析：（1）小球恰離開豎直桿時，受重力和拉力，拉力的豎直分力與重力平衡，水平分力提供向心力；

（2）分墻壁對球有彈力、球飛起、繩子b也有彈力三種情況討論，注意合力的水平分力提供向心力，合力豎直分力為零．

解：（1）小球恰離開豎直桿時，小球與豎直桿間的作用力為零，此時輕繩a與豎直桿間的夾角為α，由題意可知：

水平方向：Fasinα=mω2r

豎直方向：Facosα=mg

聯立解得：ω2=

故ω=

（2）由（1）可知0≤ω2≤時，Fa=

若角速度ω再增大，小球將離開豎直桿，在輕繩b恰伸直前，設輕繩a與豎直桿的夾角為β，此時小球做圓周運動的半徑為r=lsinβ

水平方向：

豎直方向：Facosβ=mg

聯立解得：

當輕繩恰升直時，β=60°，此時ω=

固有，此時

若角速度ω再增大，輕繩b拉直后，小球做圓周運動的半徑為r=lsin60°

水平方向：

豎直方向：Facos60°=Fbcos60°+mg

聯立解得：，此時ω2

答：（1）豎直桿角速度ω為時，小球恰離開豎直桿；

（2）輕繩a的張力Fa與豎直桿轉動的角速度ω之間的關系為：

①0≤ω2≤時，Fa=；

②時，；

③ω2時，．