Question

6．如圖所示，在豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，兩根足夠長的平行光滑金屬軌道cd、ef固定在水平面內(nèi)，相距為L，軌道左端c、e間連接一阻值為R的電阻．將一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab垂直于cd、ef放在軌道上，與軌道接觸良好．軌道和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)．
（1）導(dǎo)體棒ab沿軌道以速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)．t=0時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，此時(shí)ab到達(dá)的位置恰好使cabe構(gòu)成一個(gè)邊長為L的正方形．為使閉合電路中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，求從t=0開始，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．
（2）如果勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B保持不變，為使導(dǎo)體棒ab沿軌道以速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)，需對(duì)導(dǎo)體棒ab施加一個(gè)水平向右的外力F．
a．求外力F的大小；
b．通過公式推導(dǎo)驗(yàn)證：在△t時(shí)間內(nèi)，外力F對(duì)導(dǎo)體棒ab所做的功W等于電路獲得的電能E_電，也等于電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）要使閉合電路中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，穿過閉合電路的磁通量應(yīng)保持不變，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律列方程求解；
（2）a．根據(jù)閉合電路的歐姆定律、安培力的計(jì)算公式以及共點(diǎn)力的平衡條件列方程求解；
b．在△t時(shí)間內(nèi)，外力F對(duì)ab所做的功W=Fv△t=BILv△t，再根據(jù)焦耳定律結(jié)合閉合電路的歐姆定律推導(dǎo)產(chǎn)生的電能．

解答 解：（1）要使閉合電路中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，穿過閉合電路的磁通量應(yīng)保持不變．
t=0時(shí)，穿過閉合電路的磁通量
Φ=B₀L²
設(shè)t時(shí)刻勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，此時(shí)的磁通量為：
Φ=BL（L+vt）
則  B₀L²=BL（L+vt）
得 $B=\frac{{B}_{0}L}{L+vt}$；
（2）a．導(dǎo)體棒ab中的感應(yīng)電流為：$I=\frac{BLv}{R}$  
導(dǎo)體棒ab所受的安培力為：F_安=BIL  
導(dǎo)體棒ab勻速運(yùn)動(dòng)，水平外力為：F=F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$；
b．導(dǎo)體棒ab勻速運(yùn)動(dòng)，有：F=F_安=BIL；
在△t時(shí)間內(nèi)，外力F對(duì)ab所做的功為：W=Fv△t=BILv△t，
電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv  
電路獲得的電能為：E_電=qE=EI△t=BILv△t 
電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=I2R△t=IR-I△t=BLv-I△t 
可見，外力F對(duì)導(dǎo)體棒ab所做的功W等于電路獲得的電能E_電，也等于電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為$B=\frac{{B}_{0}L}{L+vt}$．
（2）a．求外力F的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$；
b．證明見解析．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力；另一條是能量，分析能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．