Question

【題目】如圖所示小球A用長(zhǎng)為L的細(xì)線懸掛與O點(diǎn)，且與水平面剛好接觸，另一相同的小球B從固定的光滑曲面h高處由靜止下滑，然后沿水平面向右運(yùn)動(dòng)S距離后與A球發(fā)生對(duì)心碰撞。設(shè)曲面底端與水平面平滑連接，且mA=mB，A、B兩球碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失。求

（1）若水平面光滑，且h=3L，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明A、B兩球碰撞后各如何運(yùn)動(dòng)？

（2）若水平面不光滑，且B球在水平面上滑動(dòng)時(shí)與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，h=L=1 m，S=0.5 m，則A、B兩球共發(fā)生多少次碰撞？B球最終停在何處？

Answer 1

【答案】（1）B與A碰后，B停止，A做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一周后，A再次與B相碰，A停止，B向右以的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)（2）最后一定停在曲面的低端。每經(jīng)過(guò)一次往復(fù)，碰撞兩次，所以共碰撞10次

【解析】

（1）設(shè)A與B碰前B的速度為，B沿曲面下滑時(shí)由機(jī)械能守恒得mBgh=，得=

A、B碰撞動(dòng)量守恒有：mBvB=mAvA+mBvB

A、B碰撞能量守恒有：mBvB2+mAvA2=mBvB2+mAvA2

因mA=mB，得碰后方B、A的速度分別為：vB=0，vA=

設(shè)A到最高點(diǎn)的速度為vc，A做圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)的臨界條件為：mAg=mA

A作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒有：mAvA2=mAvC2+mAg2L

代入vA=得h=2.5L＜3L

故B與A碰后，B停止，A做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一周后，A再次與B相碰，A停止，B向右以的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

（2）因L=h且水平面粗糙，故A、B第一次碰后，A上擺高度必小于L，到達(dá)最高點(diǎn)后又左擺動(dòng)與B球相碰交換速度，B球向左運(yùn)動(dòng)達(dá)曲面上某高度下滑，沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，與球發(fā)生第二次碰撞，如此反復(fù)。設(shè)B球在水平面上運(yùn)動(dòng)的總路程為x，由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律得：

mBgx=mBgh，x===5m=10S，因?yàn)樾∏駼在水平面上每經(jīng)過(guò)一次往復(fù)與A球碰撞兩次，所以共碰撞10次，最后一定停在曲面的底端。