Question

如圖，一塊平板P₂置于光滑水平面上，質(zhì)量為2m，其右端固定一輕質(zhì)彈簧，左端放置一個(gè)物體P₁，質(zhì)量為m可看作質(zhì)點(diǎn)．平板P₂上彈簧的自由端離物體P₁相距為L(zhǎng)的部分是粗糙的，其余部分是光滑，且P₁與P₂之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．現(xiàn)有一顆子彈P質(zhì)量為

m

2

以速度v₀水平向右打入物體P₁并留在其中，子彈打入過(guò)程時(shí)間極短．隨后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，（重力加速度為g）求
（1）子彈P打入物體P₁后的共同速度v₁
（2）若子彈P與物體P₁最終能停在平板P₂的最左端，則L至少為多少？
（3）試討論動(dòng)摩擦因數(shù)為μ與此過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì)能E_P 的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）子彈P打入物體P₁后的共同速度根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒定律求解．
（2）物體P₁在物體P₂并上滑過(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，子彈P與物體P₁最終能停在平板P₂的最左端時(shí)，P₁、P₂、P三者速度相同，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出共同速度，再根據(jù)能量守恒列式求解．
（3）當(dāng)彈簧壓縮最大時(shí)，P₁、P₂、P三者具有共同速度v₃，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求解．

解答：解：（1）子彈P打入P₁過(guò)程，由于時(shí)間極短，P₁所受的摩擦力沖量可忽略不計(jì)，P和P₁組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．取向右方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒定律得：

1

2

mv₀=（

1

2

m+m）v₁…①
解得：v1=

v0

3

…②
（2）對(duì)P₁、P₂、P系統(tǒng)，所受的合外力為零，滿足動(dòng)量守恒，取向右方向?yàn)檎�方向．由�?dòng)量守恒定律得：

3

2

mv₁=（

3

2

m+2m）v₂…③
解得：v₂=

3

7

v₁=

1

7

v0 ④
對(duì)系統(tǒng)由能量守恒定律得：
2μ（

3

2

m）g?L=

1

2

?

3

2

m

v

2 1

-

1

2

?（

3

2

m+2m）

v

2 2

…⑤
解得：L=

v 2 0

63μg

…⑥
（3）由系統(tǒng)的能量守恒定律：E_p=

1

2

?

3

2

m

v

2 1

-

1

2

?（

3

2

m+2m）

v

2 2

-μ（

3

2

m）g?L…⑦
當(dāng)Ep=0時(shí)，由②④⑦得，μ=

2 v 2 0

63gL

．
若μ≥

2 v 2 0

63gL

時(shí)，Ep=0，
若μ＜

2 v 2 0

63gL

時(shí)，E_p=

1

21

mv

2 0

-

3

2

μmgL
答：（1）子彈P打入物體P₁后的共同速度v₁為

v0

3

．
（2）若子彈P與物體P₁最終能停在平板P₂的最左端，則L至少為

v 2 0

63μg

．
（3）動(dòng)摩擦因數(shù)μ與此過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì)能E_P的關(guān)系為：
 若μ≥μ₀=

2 v 2 0

63gL

時(shí)，Ep=0，
 若μ＜μ₀=

2 v 2 0

63gL

時(shí)，E_p=

1

21

mv

2 0

-

3

2

μmgL．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．對(duì)于多個(gè)相互作用的物體，往往優(yōu)先考慮能否運(yùn)用守恒定律求解．