Question

【題目】雨滴下落時由于空氣阻力的作用，經(jīng)過一段加速后會趨近勻速下落。為解釋雨滴下落過程中的各種現(xiàn)象，某同學(xué)查閱資料發(fā)現(xiàn)，若將雨滴視作半徑為r的球體，則在豎直下落過程中雨滴所受的阻力滿足公式，其中k為常數(shù)，v為雨滴下落的速度大小。已知雨滴的密度為ρ，重力加速度為g.

（1）取雨滴由靜止開始下落的時刻作為計時起點，請在下面的v-t圖中定性畫出雨滴從高空開始下落后直至落地前的過程中，其速度隨時間的變化圖像（取豎直向下為正方向，且不考慮與其它雨滴的碰撞）；

（2）若某一雨滴的半徑為rc，某時刻在豎直方向加速下落的速度大小為vc，求該時刻雨滴加速度的大小a；

（3）高空中的雨滴豎直下落后打在沙灘上會留下深淺不一的小坑，該同學(xué)查閱資料后認(rèn)為坑的深淺取決于雨滴撞擊地面時的平均壓強。為簡化問題，雨滴撞擊地面時可視為圓柱體形狀，且撞擊時間極短，撞擊后的速度為零。請你幫助該同學(xué)推導(dǎo)此雨滴撞擊地面時平均壓強p的表達(dá)式（結(jié)果用ρ、g、k和 r表示）。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）速度隨時間的變化圖像如圖所示。

（2）該雨滴的質(zhì)量為

速度為vc時，雨滴所受的阻力為

由牛頓第二定律有

可得

（3）雨滴撞擊地面時，取極短時間Δt內(nèi)與地面作用的質(zhì)量為Δm的一小部分為研究對象，由于時間極短，可不計重力影響。

取豎直向下為正方向，由動量定理有

其中

根據(jù)牛頓第三定律可得雨滴對地面的壓力大小也為F，由壓強公式有

聯(lián)立以上各式可得

①

依據(jù)題意有

②

其中

③

聯(lián)立①②③式可得