Question

游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來（如圖1），我們把這種情況抽象為如圖2的模型：圓弧軌道的下端與豎直圓軌道相接于M點(diǎn)，使小球從弧形軌道上距離M點(diǎn)豎直高度為h處滾下，小球進(jìn)入圓軌道下端后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)．實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點(diǎn)N，不考慮摩擦等阻力．

（1）若h=5R，求小球通過M點(diǎn)時(shí)的速度大小和通過N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）若改變h的大小，小球通過最高點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_K也隨之發(fā)生變化，試通過計(jì)算在方格紙上作出E_K隨h的變化關(guān)系圖象（作在答題卡上）．

Answer 1

分析：（1）小球由高度為h=5R處下落至到達(dá)M點(diǎn)過程中，軌道的支持力不做功，只有重力做功，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式，即可求出小球通過M點(diǎn)時(shí)的速度大�。�由機(jī)械能守恒定律求出小球通過N點(diǎn)的速度大小，小球通過N點(diǎn)時(shí)由重力和軌道的支持力的合力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出支持力，再由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）根據(jù)根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解得到E_k與h的關(guān)系式，結(jié)合臨界條件并畫出圖象．

解答：解：（1）設(shè)小球在M點(diǎn)的速度為v₁，小球由高度為h處下落至到達(dá)M點(diǎn)過程中，機(jī)械能守恒，取地面為零勢(shì)能面，則：mgh=

1

2

mv12…①
將h=5R代入①得 v₁=

10gR

…②
設(shè)小球在通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)速度v₂，軌道對(duì)球的壓力為N₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，得
  mgh=

1

2

mv22+2mgR…③
由牛頓第二定律得 mg+N2=m

v2

R

…④
將h=5R代入③、④聯(lián)立解得：N₂=5mg …⑤
（2）由③得：EK=

1

2

mv2=mgh-2mgR…⑥
由③、④得：N=

2mg

R

h-5mg…⑦
由于N≥0   由⑦得：h≥2.5R
當(dāng)h=2.5R時(shí)，E_K=0.5mgR  圖中A（2.5，0.5）
當(dāng)h=5R時(shí)，E_K=3mgR   圖中B（5，3）
連接AB作出E_K--h變化圖象如圖所示．
答：
（1）小球通過M點(diǎn)時(shí)的速度大小為

10gR

，通過N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為5mg；
（2）作出E_K隨h的變化關(guān)系圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是明確小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道圓軌道最高點(diǎn)重力和支持力的合力提供向心力，同時(shí)要結(jié)合機(jī)械能守恒定律列式求解即可．