Question

15．如圖所示，固定在水平面上的光滑斜面AB與水平方向的夾角θ=45°，A、B兩點(diǎn)的高度差h=4m，在B點(diǎn)左側(cè)的水平面上有一左端固定的輕質(zhì)彈簧，自然伸長(zhǎng)時(shí)彈簧右端到B點(diǎn)的距離s=3m．質(zhì)量為m=1kg的物塊從斜面頂點(diǎn)A由靜止釋放，物塊進(jìn)入水平面后向左運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧的最大壓縮量x=0.2m．已知物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，取g=10m/s²，不計(jì)物塊在B點(diǎn)的機(jī)械能損失．求：
（1）彈簧的最大彈性勢(shì)能；
（2）物塊最終停止位置到B點(diǎn)的距離；
（3）物塊在斜面上滑行的總時(shí)間（結(jié)果可用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）物塊從開(kāi)始位置到壓縮至速度為零的過(guò)程，根據(jù)功能關(guān)系求解彈簧的最大彈性勢(shì)能；
（2）物塊從開(kāi)始位置到最終靜止在水平面上的過(guò)程，由動(dòng)能定理求出在水平面上運(yùn)動(dòng)的總路程，從而確定最終停止位置到B點(diǎn)的距離；
（3）物塊在光滑斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式結(jié)合動(dòng)能定理求解即可．

解答 解：（1）物塊從開(kāi)始位置到壓縮至速度為零的過(guò)程，根據(jù)功能關(guān)系得：
mgh-μmg（s+x）=E_P
代入數(shù)據(jù)解得：E_P=24J
（2）物塊從開(kāi)始位置到最終靜止在水平面上的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mgh-μmgl=0-0
代入數(shù)據(jù)解得：l=8m
所以物塊停止位置到B點(diǎn)的距離為：△l=l-2（s+x）=1.6m＜3m，
即物塊最終停止位置距B點(diǎn)1.6m，
（3）物塊在光滑斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律得：
$a=\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$，
設(shè)第一次在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則有：$\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${t}_{1}=\frac{2}{5}\sqrt{10}s$，
設(shè)物塊從水平面返回斜面時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理得：
mgh-2$μmg（s+x）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=4m/s
則第二次在斜面上滑行的時(shí)間為：${t}_{2}=2\frac{v}{gsinθ}=\frac{4\sqrt{2}}{5}s$，
所以物塊在斜面上滑行的總時(shí)間為：t=t₁+t₂=$\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{5}s$
答：（1）彈簧的最大彈性勢(shì)能為24J；
（2）物塊最終停止位置到B點(diǎn)的距離為1.6m；
（3）物塊在斜面上滑行的總時(shí)間為$\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{5}s$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵靈活地選擇過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解；對(duì)斜面上的運(yùn)動(dòng)可以運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式聯(lián)立求解，難度適中．