Question

8．如圖一矩形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)的軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，右端通過電刷a，b與一平行水平金屬板相連接．已知線圈匝數(shù)為N=10匝，線圈面積S=0.5m²，線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為n=60r/min，線圈內(nèi)阻不計(jì)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{10}{π}$（T）．平行金屬板板長(zhǎng)l=0.1m，板間距離d=0.2m，求：
（1）從圖示時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，寫出矩形線圈中的電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式？
（2）若某時(shí)刻一質(zhì)量為m=1×10^-3Kg、帶電量為q=0.2C的正粒子，從板中央以v₀=100m/s的初速度水平射入平行金屬板間，假設(shè)粒子在穿越板間的極短時(shí)間內(nèi)電壓不變，不計(jì)粒子重力，則粒子在金屬板間的最大偏轉(zhuǎn)位移為多少？

Answer 1

分析 （1）由最大值表達(dá)式可求得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，再由瞬時(shí)表達(dá)式規(guī)律可求得瞬時(shí)值；
（2）當(dāng)電壓達(dá)最大值時(shí)，粒子在金屬板間的偏移量達(dá)最大，由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得最大偏移量．

解答 解：（1）線圈的轉(zhuǎn)速n=60r/min=1r/s；
角速度ω=2πn=2π（rad/s）
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值E_m=NBsω=10×$\frac{10}{π}$×0.5×2π=100V；
由圖可知，由最大值開始計(jì)時(shí)，故瞬時(shí)表達(dá)式e=E_mcosωt=100cos2πt；
（2）解：（1）帶電粒子在平行極板方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由L=${v}_{0}^{\;}t$可得：
t=$\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}$=$\frac{0.1}{100}$=0.001s
當(dāng)電壓達(dá)最大值時(shí)，偏轉(zhuǎn)位移最大；
由E=$\frac{U}gimyee4$，F(xiàn)=Eq，及F=ma可得a=$\frac{qU}{md}$=$\frac{100×0.2}{1×1{0}^{-3}×0.2}$=1×10⁵m/${s}_{\;}^{2}$
帶電粒子在豎直方向偏轉(zhuǎn)位移y=$\frac{1}{2}{at}_{\;}^{2}$，代入數(shù)據(jù)可得y=$\frac{1}{2}$×1×10⁵×（0.001）²=0.05m；
答：（1）矩形線圈中的電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式為e=100cos2πt；
（2）粒子在金屬板間的最大偏轉(zhuǎn)位移為0.05m

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)可以用類平拋規(guī)律求解，將帶電粒子沿初速度方向和垂直初速度的方向分解，然后根據(jù)兩分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和等時(shí)性根據(jù)牛頓定律列式求解即可．