Question

1．如圖a所示，直角坐標系的第一象限有磁場分布，方向垂直于紙面向里，磁感應強度沿y軸方向沒有變化，與x軸的關系如圖b所示，圖象是反比例函數(shù)；頂角θ=45°的光滑金屬長導軌MON固定在水平面內(nèi)，ON與x軸重合，一根與ON垂直的長導體棒在水平向右的外力作用下沿導軌MON向右滑動，導體棒在滑動過程中始終與導軌良好接觸．已知t=0時，導體棒位于頂點O處，導體棒的質(zhì)量為m=2kg，導體棒的電阻為1?/m，其余電阻不計．回路電動勢E與時間t的關系如圖c所示，圖線是過原點的直線．求：
（1）t=2s時流過導體棒的電流I₂的大��；
（2）導體棒滑動過程中水平外力F（單位：N）與橫坐標x（單位：m）的關系式；
（3）0-2s時間內(nèi)回路中產(chǎn)生的電熱．

Answer 1

分析 （1）由E-t圖象讀出t=2s時的感應電動勢，由E=BLv分析金屬棒的運動情況，由運動學公式得到加速度，從而求得導體棒的位移，根據(jù)導體棒的長度求出回路中的電阻，即可由歐姆定律求解流過導體棒的電流強度I₂的大小．
（2）運用牛頓第二定律求解F與x的關系式．
（3）根據(jù)導體棒的運動規(guī)律求出2s末導體棒的速度，由功的計算公式求出F做功，根據(jù)能量守恒定律求電熱．

解答 解：（1）根據(jù)E-t圖象中的圖線是過原點的直線特點，可知，E與t成正比，則得，t=2s時導體棒產(chǎn)生的感應電動勢為：E=4V
因θ=45°，可知t時刻回路中導體棒有效切割長度 L=x
B-x圖象中圖線是雙曲線，則有：Bx=k=2×0.5=1T•m
則E=BLv=（Bx）v=v
由圖c知：E與t成正比，且有 E=2t（V）
由以上三式得：v=2t（m/s）
可知導體棒的運動是勻加速直線運動，加速度 a=2m/s²，則2s內(nèi)位移為
   x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=4m
此時回路中的電阻 R=x•1?/m=4?
由歐姆定律得：
  I₂=$\frac{E}{R}$=$\frac{4}{4}$A=1A
（2）導體棒的位移為x時，由x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得 t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{x}$
此時棒的速度 v=2t=2$\sqrt{x}$
經(jīng)歷的時間為感應電動勢 E=v=2$\sqrt{x}$
感應電流為 I=$\frac{E}{x•1Ω/m}$=$\frac{2\sqrt{x}}{x}$=$\frac{2}{\sqrt{x}}$
再根據(jù)牛頓第二定律有：F-BIx=ma
即 F-vI=ma
代入得：F-2$\sqrt{x}$•$\frac{2}{\sqrt{x}}$=2×2
聯(lián)立解得：F=6N
（3）0-2s時間內(nèi)，x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$m=4m
2s末棒的速度 v=2t=4m/s
根據(jù)能量守恒得：Fx=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得，電熱 Q=8J
答：
（1）t=2s時流過導體棒的電流I₂的大小是1A；
（2）導體棒滑動過程中水平外力F與橫坐標x的關系式是 F=6N；
（3）0-2s時間內(nèi)回路中產(chǎn)生的電熱是8J．

點評 本題的關鍵首先要正確理解兩個圖象的數(shù)學意義，運用數(shù)學知識寫出電流與時間的關系，要掌握牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應電動勢公式．