Question

某種加速器的理想模型如圖1所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開有一小孔a、b，兩極板間電壓u_ab的變化圖象如圖2所示，電壓的最大值為U₀、周期為T₀，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．若將一質(zhì)量為m₀、電荷量為q的帶正電的粒子從板內(nèi)a孔處靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間T₀后恰能再次從a 孔進(jìn)入電場(chǎng)加速．現(xiàn)該粒子的質(zhì)量增加了

1

100

m0．（粒子在兩極板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不計(jì)，兩極板外無電場(chǎng)，不考慮粒子所受的重力）
（1）若在t=0時(shí)刻將該粒子從板內(nèi)a孔處靜止釋放，求其第二次加速后從b孔射出時(shí)的動(dòng)能；
（2）現(xiàn)在利用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁場(chǎng)中時(shí)管內(nèi)無磁場(chǎng)，忽略其對(duì)管外磁場(chǎng)的影響），使圖1中實(shí)線軌跡（圓心為O）上運(yùn)動(dòng)的粒子從a孔正下方相距L處的c孔水平射出，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡圖上的相應(yīng)位置處畫出磁屏蔽管；
（3）若將電壓u_ab的頻率提高為原來的2倍，該粒子應(yīng)何時(shí)由板內(nèi)a孔處靜止開始加速，才能經(jīng)多次加速后獲得最大動(dòng)能？最大動(dòng)能是多少？

Answer 1

（1）質(zhì)量為m₀的粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)Bqv=

mv2

r

，T0=

2πr

v

則T0=

2πm0

qB

當(dāng)粒子的質(zhì)量增加了

1

100

m₀，其周期增加△T=

1

100

T₀
根據(jù)題圖2可知，粒子第一次的加速電壓u₁=U₀
經(jīng)過

101T0

100

第二次加速，第2次加速電壓u₂，如圖2
在三角形中，

u2

U0

=

T0 4 - T0 100

T0 4

=

24

25

，


所以粒子第二次的加速電壓u2=

24

25

U0
粒子射出時(shí)的動(dòng)能 E_k2=qu₁+qu₂
解得Ek2=

49

25

qU0
（2）因?yàn)榇牌帘喂苁沽Ｗ觿蛩龠\(yùn)動(dòng)至以下L處，出管后仍然做圓周運(yùn)動(dòng)，可到C點(diǎn)水平射出．磁屏蔽管的位置如圖1所示．粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖3．
（3）如圖4（用Excel作圖）設(shè)T₀=100，U₀=50，得到在四分之一周期內(nèi)的電壓隨時(shí)間變化的圖象
從圖象可以看出，時(shí)間每改變△t=

T0

100

（圖象中為1），電壓改變?yōu)?span mathtag="math" >

2

25

U0（圖象中為4），
所以圖象中電壓分別為50，46，42，38，…10，6，2，共13個(gè)，
設(shè)某時(shí)刻t，u=U₀時(shí)被加速，此時(shí)刻可表示為

T0

2

?N，
靜止開始加速的時(shí)刻t₁為t1=

T0

2

?N-n×

101T0

100

，其中n=12，將n=12代入得t1=

T0

2

?N-

1212T0

100

，
因?yàn)?span mathtag="math" >t1＜

T0

2

，在u＞0時(shí)，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)：N=

T0 4

△T

，得N=25．
所以只能取N=25，解得t1=

19

25

T0，由于電壓的周期為

T0

2

，所以t=

T0

2

n+

19

25

T0（n=0，1，2，3…）
故粒子由靜止開始被加速的時(shí)刻t=(

n

2

+

19

50

)T0（n=0，1，2，…）
故加速時(shí)的電壓分別

23

25

U0，

21

25

U0，

19

25

U0…

5

25

U0，

3

25

U0，

1

25

U0，
加速電壓做的總功，即動(dòng)能的最大值，故粒子的最大動(dòng)能 Ekm=2×(

1

25

+

3

25

+…

23

25

)qU0+qU0
解得 Ekm=

313

25

qU0．