Question

如圖示，在傾角為θ的足夠長的光滑斜面上，長木板上有一質(zhì)量為2m的小鐵塊（視為質(zhì)點(diǎn)）以相對(duì)地面的初速度v₀從長木板的上端沿長木板向下滑動(dòng)，同時(shí)對(duì)長木板在沿斜面向上的某拉力作用下始終作速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)（已知v₀＞v），小鐵塊最終跟長木板一起向上做勻速運(yùn)動(dòng)．已知小鐵塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，已知μ＞tanθ，試求：
（1）小鐵塊在長木板上滑動(dòng)時(shí)的加速度； 
（2）要保證塊與板能共速，若長木板足夠長，求鐵塊與長木板相對(duì)滑行時(shí)間； 
（3）長木板的最短長度；

Answer 1

解：（1）設(shè)小鐵塊的加速度大小為a，取沿斜面向上為正：μ?2mgcosθ-2mgsinθ=2ma
得 a=g（μcosθ-sinθ） 
因?yàn)棣蹋総anθ，所以小鐵塊加速度沿斜面向上． 
（2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，設(shè)最終獲得穩(wěn)定速度v，
經(jīng)t后小鐵塊達(dá)到穩(wěn)定速度，則v-（-v₀）=at，得t=
（3）設(shè)此段時(shí)間內(nèi)小鐵塊的位移為s₁，木板的位移為s₂，
有：s₁=，方向沿斜面向下
s₂=vt，方向沿斜面向上   
故長木板的最短長度為L_m=s₁+s₂，得  L_m=
答：（1）小鐵塊在長木板上滑動(dòng)時(shí)的加速度是g（μcosθ-sinθ），方向沿斜面向上． 
（2）要保證塊與板能共速，若長木板足夠長，鐵塊與長木板相對(duì)滑行時(shí)間是．
（3）長木板的最短長度是．
分析：（1）小鐵塊在長木板上滑動(dòng)時(shí)受到重力、木板的支持力和摩擦力作用，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．
（2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，最終跟長木板一起向上做勻速運(yùn)動(dòng)．由于鐵塊變速運(yùn)動(dòng)過程的加速度一定，看成一種勻減速運(yùn)動(dòng)，取沿斜面向上方向?yàn)檎�方向，此過程的初速度為-v₀，末速度為v，由速度公式可求出時(shí)間．
（3）由位移公式分別此段時(shí)間內(nèi)小鐵塊的位移s₁和木板的位移s₂，由幾何關(guān)系得，長木板的長度應(yīng)滿足：L≥s₁+s₂，即可求解長木板的最小的長度L．
點(diǎn)評(píng)：本題是兩個(gè)物體多個(gè)過程的問題，分析物體的運(yùn)動(dòng)過程是基礎(chǔ)，把握臨界條件是解題的關(guān)鍵．對(duì)于第2題也可分兩個(gè)階段求解鐵塊運(yùn)動(dòng)時(shí)間．鐵塊交減速過程：0=v₀-at₁，求得t₁，
鐵塊勻加速過程：v=at₂，求得t₂．