Question

2．已知地球的半徑為R，地球衛(wèi)星A的圓軌道半徑為2R，衛(wèi)星B的圓軌道半徑為$\sqrt{2}$R，兩衛(wèi)星均在地球赤道的正上方，兩衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，已知地球表面的重力加速度大小為g，試求：
（1）兩衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T_A和T_B；
（2）衛(wèi)星A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長時(shí)間間隔（信號傳輸時(shí)間可忽略）．

Answer 1

分析 （1）人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由地球的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律求解衛(wèi)星的周期．
（2）兩衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于地球的遮擋，使衛(wèi)星A、B不能直接通訊，作圖找出空間的位置關(guān)系，根據(jù)幾何知識和速度公式列式計(jì)算．

解答 解：（1）對于軌道半徑為r的衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力有：
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²r
在地球表面上，有 m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得 T=$\frac{2πr}{R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
所以有 T_A=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，T_B=2$\sqrt{2}$π$\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}}$=2π$\sqrt{\frac{2\sqrt{2}R}{g}}$
（2）衛(wèi)星間的通訊信號視為沿直線傳播，由于地球的遮擋，使衛(wèi)星A、B不能直接通訊，如圖所示，設(shè)遮擋的時(shí)間為t，則有它們轉(zhuǎn)過的角度之差為θ時(shí)就不能通訊，則有：
  $\frac{2π}{{T}_{B}}$t-$\frac{2π}{{T}_{A}}$t=θ
又根據(jù)幾何關(guān)系可得：sinα=$\frac{R}{\sqrt{2}R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinβ=$\frac{R}{2R}$=$\frac{1}{2}$
可得 α=$\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{6}$
而：θ=2（α+β）
由以上各式可解得 t=$\frac{10π}{3（2\sqrt{\sqrt{2}-1}）}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$
答：
（1）兩衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T_A和T_B分別為4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$和2π$\sqrt{\frac{2\sqrt{2}R}{g}}$．
（2）衛(wèi)星A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長時(shí)間間隔是$\frac{10π}{3（2\sqrt{\sqrt{2}-1}）}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了萬有引力定律的應(yīng)用和空間想象能力問題，要作圖找出空間的位置關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵．同時(shí)，對于衛(wèi)星問題，要掌握基本的思路：萬有引力等于向心力．