Question

如圖所示，間距為L(zhǎng)的平行金屬板AB、CD之間有相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），電場(chǎng)強(qiáng)度為E₁，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁．帶異種電荷的兩離子a、b，負(fù)離子a質(zhì)量為m、帶電量為q，其比荷為正離子b比荷的9倍．它們?cè)诜謩e距離AB、CD板L/4處，以平行于金屬板方向的速度沿直線穿過(guò)ABCD區(qū)域進(jìn)入電場(chǎng)強(qiáng)度為E₂的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)，E₂與E₁平行．MNP為沿AB、CD中心線方向的光滑絕緣板，離子與板碰撞后反彈無(wú)能量損失（即反彈前后水平分速度保持不變，豎直分速度大小不變、方向相反），且電量保持不變，到達(dá)板的N點(diǎn)后反彈進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，不計(jì)兩離子間的相互作用力及重力．
（1）在圖中畫出AB、CD間勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁的方向，并寫出離子速度大小的表達(dá)式；
（2）MN的長(zhǎng)度要滿足什么條件，兩離子能恰好到達(dá)N點(diǎn)？
（3）若a離子的比荷q/m=10⁸C/kg，E_l=10³V/m，B_l=0.1T，E₂=3×10³V，L=2×10^-3m，且板NP足夠長(zhǎng)．則兩離子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂后，沿板NP方向上平均速度之比為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)洛倫茲力等于電場(chǎng)力，即可求解；
（2）根據(jù)離子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由位移與時(shí)間的關(guān)系式，即可求解；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的速度分解，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系，從而求得各自?shī)A角，再由半徑與周期公式，進(jìn)而即可求解．
解答：解：（1）要使兩離子沿直線通過(guò)AB、CD板間所加磁場(chǎng)B1方向垂直于紙面向里，如圖所示；
由 qB₁v=qE₁
解得離子速度大小為
（2）兩離子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂中作類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)a離子第一次絕緣板碰撞的時(shí)間為t_a，所以
同理
解得t_b=3t_a
設(shè)MN間距為s，要a離子能到達(dá)N點(diǎn)，有
v（2n_a+1）t_a=s（n_a為正整數(shù)）
同理，要使b離子也到達(dá)N點(diǎn)，有
v（2n_b+1）t_b=s（n_b也為正整數(shù)）
解得（n_b=0、1、2、3、…）
（3）兩離子進(jìn)入磁場(chǎng)后a離子垂直于板的速度

方向tan
 解得θ=60°
同理解得
 方向tana=
 解得a=30°
兩離子在B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑，

兩離子在B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期T_a=  與T_b=
兩離子沿EFG板移動(dòng)的平均速度分別為；
則兩速度之比為，
答：（1）在圖中畫出AB、CD間勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁的方向如上圖所示，并寫出離子速度大小的表達(dá)式為；
（2）MN的長(zhǎng)度要滿足（n_b=0、1、2、3、…），兩離子能恰好到達(dá)N點(diǎn)；
（3）若a離子的比荷q/m=10⁸C/kg，E_l=10³V/m，B_l=0.1T，E₂=3×10³V，L=2×10^-3m，且板NP足夠長(zhǎng)．則兩離子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂后，沿板NP方向上平均速度之比為．
點(diǎn)評(píng)：考查受力平衡的條件與平衡方程，理解平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法，掌握運(yùn)動(dòng)的合成與分解的思路，注意數(shù)學(xué)知識(shí)在本題巧妙運(yùn)用．